背包问题详解-优快云博客

每次增加一个物品放入背包，如果可以放入，设该物品重量为w1，价值v1，得到其放入之后背包的总重量W，减去这个物品的重量w1，那么W-w1这个重量的列的最大价值加上v1如果大于该位置（该行该列）上一行的价值的值，就更新此处的value值，表明这个物品放入背包，不然就继承上一行的value值。

第一种，0-1背包：

dp：复习dp看

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];//滚动数组的写法，省下空间省不去时间
int weight[1005];
int value[1005];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>m>>n;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>weight[i]>>value[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)//对每个数判断，可反
    {
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)//这里这个循环定死，不能反,反了就是完全背包
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);//其实不断在判断最优解，一层一层的
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

优化为一维数组：01背包逆着完全背包顺着

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<deque>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<ctime>
using namespace std;
#define eps 1e-10
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
int main()
{
    LL dp[1000],n,m,v[1000],c[1000];
    memset(dp,0,sizeof(0));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=c[i];j--)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+v[i]);
        for(int j=0;j<=m;j++)
            cout<<dp[j]<<" ";
        cout<<endl;
    }

}
第二种，完全背包：

完全被包与0-1背包的区别就是完全背包里的物品数量是无限个，完全背包与0-1背包代码实现相差不大

dp数组正着更新是完全背包，倒着更新是0-1背包；

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<deque>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<ctime>
using namespace std;
#define eps 1e-10
#define INF 0x3f3f3f3f
typedef long long LL;
int main()
{
    LL dp[1000],n,m,v[1000],c[1000];
    memset(dp,0,sizeof(0));
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>v[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>c[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=c[i];j<=m;j++)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-c[i]]+v[i]);
        for(int j=0;j<=m;j++)
            cout<<dp[j]<<" ";
        cout<<endl;
    }

}

第三种，多重背包：

多重背包问题限定了一种物品的个数，解决多重背包问题，只需要把它转化为0-1背包问题即可。比如，有2件价值为5，重量为2的同一物品，我们就可以分为物品a和物品b，a和b的价值都为5，重量都为2，但我们把它们视作不同的物品。

二进制分解思想：

例如有22个重量和价值都为1的物品，如果按照常规方法的话，需要循环22次，每次放入一个重量质量都为1的物品，而用二进制分解的话，可以将22个物品转化为5个物品，5个物品的重量和价值为1，2，4，8，7；这样致需要循环5次就可以了。

把22进行二进制拆分：

成为1,2,4,8,7；由1,2,4,8可以组成1--15之间所有的数，而对于16--22之间的数，可以先减去剩余的7，那就是1--15之间的数可以用1,2,4,8表示了。

多重背包就是背包里物品数量不为一但是有限，相当于介于0-1背包与完全背包之间，一般解决多重背包问题把

0-1背包与完全背包结合起来使用，而且一般0-1背包可以用二进制压缩来优化，降低时间复杂度

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL dp[100000+10]; //存储最后背包最大能存多少
LL a[100000+10];//存的是物品的价值,或者是重量
LL c[100000+10];//存的是数量
LL m;
void ZeroonePack(LL weight,LL value) // 01背包
{
    for(LL i=m;i>=weight;i--)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+value);
}
void completePack(LL weight,LL value) //完全背包
{
    for(LL i=weight;i<=m;i++)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-weight]+value);
}
void MultiplePack(LL w,LL v,LL num) //多重背包
{
    if(num*w>=m){//如果总容量比这个物品的容量要小，那么这个物品可以直到取完，相当于完全背包
        completePack(w,v);
        return ;
    }
    LL k=1; //否则就将多重背包转化为01背包
    while(k<=num){
        ZeroonePack(k*w,k*v);
        num=num-k;
        k=k*2; //这里采用二进制思想
    }
    ZeroonePack(num*w,num*v);
}
int main()
{
    LL n;
    while(scanf("%lld %lld",&n,&m)!=EOF)
    {
        if(n==0&&m==0)
            break;
        for(LL i=0;i<n;i++){
            scanf("%lld",&c[i]);//输入价值此题没有物品的重量，可以理解为体积和价值相等
        }
        for(LL i=0;i<n;i++)
            scanf("%lld",&a[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(LL i=0;i<n;i++)
            MultiplePack(c[i],c[i],a[i]);//调用多重背包,注意穿参的时候分别是重量，价值和数量
        LL ans=0;
        for(LL i=1;i<=m;i++)
            if(dp[i]==i)
                ans++;
        cout<<ans<<endl;
    }
}