机器学习之神经网络算法

本文主要记录线性回归、逻辑回归和神经网络算法的基本思想及用实现过程。


简单回顾：

  机器学习的主要组成部分：输入、算法、输出、训练集；核心思想：通过训练集数据优化算法的参数，以提升对未知输入的输出预测精度。这一算法优化过程被形象的描述为学习。

一、最基础的机器学习就是线性回归和逻辑回归了。

1.线性回归

输入（features）：

$$x_{1} ,x_{2},...,x_{n}$$
假设函数（hypothesis function）:
$$h_{\theta}(x) = \theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}+...+\theta_{n}x_{n}$$
误差函数（cost function）：
$$J(\theta) = \frac{1}{2m}\sum_{i = 1 }^{n}( h_{\theta}(x_{i})-y_{i})^2$$
为使误差函数值最小，用梯度下降（gradient descent）多次迭代计算合适的$\theta_{i}$:
$$\theta_{i} = \theta_{i} - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{i}}J(\theta)$$
即 $$\theta_{j} = \theta_{j} - \alpha \frac{1}{m}\sum_{i =1 }^{n}(y^{i} - h_{\theta}(x^i))x_{j}^{(i)}$$
由于不同的特征值（输入）取值范围趋于一致时可以加快梯度递减，所以可以对特征值进行适当缩放或标准化：
$$x = \frac{x - u}{s}$$

2.逻辑回归

  逻辑回归亦可称为分类问题。首先从简单的二元逻辑回归入手，即输出$y = \left\{ 0, 1 \right\}$可以看做是线性回归基础上的变异，用sigmoid函数$h_{\theta}(x) = \frac{1}{1+e^{g(z)}}$ 对线性回归的输出估计值进行了归一化处理，$h_{\theta}(x)\in(0,1)$。

  误差函数的形式与线性回归的不同，但是思想还是一致的，

$$J(\theta) = - \frac{1}{m} \displaystyle \sum_{i=1}^m [y^{(i)}\log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\log (1 - h_\theta(x^{(i)}))]$$
  计算合适的$\theta_{i}$用的还是上面相同的梯度下降法。

  过拟合的问题：训练完的算法对训练集中的数据预测过于精准，使得函数对未知的输入出现较大的预测误差。

  解决方法：正则化

正则化的线性回归：

$$J(\theta)= \dfrac{1}{2m}\ \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})^2 + \lambda\ \sum_{j=1}^n \theta_j^2$$

$$\begin{align*} & \text{Repeat}\ \lbrace \newline & \ \ \ \ \theta_0 := \theta_0 - \alpha\ \frac{1}{m}\ \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_0^{(i)} \newline & \ \ \ \ \theta_j := \theta_j - \alpha\ \left[ \left( \frac{1}{m}\ \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})x_j^{(i)} \right) + \frac{\lambda}{m}\theta_j \right] &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j \in \lbrace 1,2...n\rbrace\newline & \rbrace \end{align*}$$
正则化的逻辑回归：
$$\begin{align*} & J(\theta) = &- \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \large[ y^{(i)}\ \log (h_\theta (x^{(i)})) + (1 - y^{(i)})\ \log(1 - h_\theta(x^{(i)}))\large] & +\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^n \theta_j^2 \end{align*}$$

3.神经网络算法
  神经网络算法虽然称得上是非线性算法，但是究其局部而言还是运用了线性回归的思维方式。

误差函数：

$$\begin{gather*} J(\Theta) = &- \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m \sum_{k=1}^K \left[y^{(i)}_k \log ((h_\Theta (x^{(i)}))_k) + (1 - y^{(i)}_k)\log (1 - (h_\Theta(x^{(i)}))_k)\right] &+ \frac{\lambda}{2m}\sum_{l=1}^{L-1} \sum_{i=1}^{s_l} \sum_{j=1}^{s_{l+1}} ( \Theta_{j,i}^{(l)})^2\end{gather*}$$
实现步骤：
（1）为初始的权重赋以随机化的值
（2）用前向传递算法计算$h_{\Theta}(x^{(i)})$
（3）计算误差函数$J(\Theta)$
（4）用后向传递算法计算偏导$\frac{\partial}{\partial \Theta_{jk}^{(l)}}J(\Theta)$
（5）用梯度下降或者其他高级算法计算使得$J(\Theta)$最小化的权重$\Theta$