C++实现求根号2的近似值

原创 已于 2023-07-15 15:27:35 修改 · 634 阅读 · 1 ·
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于 2023-07-15 15:22:21 首次发布
该程序运用二分法在范围(1,2)内寻找√2的近似值，通过不断缩小区间，直到mid*mid与2的差的绝对值小于0.0001。中间值mid=(l+r)/2，如果mid的平方小于2则更新左边界l，反之更新右边界r，最终找到满足条件的近似值。

√2在范围（1,2）之间，初中思路：去根号。，比较办法是：1*1< 2 < 2*2，用二分的思路，维护左右区间一起平方一大一小，而逼近的取值mid = (L+R)/2，然后而每次比较用midmid和2比较。
精度：精度也要用平方！！！用abs(midmid - 2和0.01*0.01)

int main()
{
    // 根号2平方是2
    double l = 1;
    double r = 2;
    double mid = 0;
    while (1)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        if (mid*mid < 2 && abs(mid*mid- 2) >= 0.0001)
            // 小了扩左
            l = mid;
        else if (mid*mid > 2 && abs(mid*mid - 2) >= 0.0001)
            r = mid;
        if (abs(mid*mid - 2) < 0.0001)
        {
            cout << l << " " << r << endl;
            cout << (l + r ) / 2 << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}
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// 最后一个项是2 for (int i = 1; i < iterations; ++i) { result = 2.0 + 1.0 / result; } return 1.0 + 1.0 / result; } 这样，当iterations=1时，得到1 + 1/2 = 1.5；iterations=2时，计算过程是result初始为2，第一次循环变成2 + 1/2 = 2.5，然后返回1 + 1/2.5=1.4，依此类推。这可能是一个常见的实现方法。这里需要注意循环次数与展开层数的对应关系。 用户的问题是关于连分数展开的for循环示例，所以需要给出这样的代码示例。同时可能需要输出展开的各个系数，或者计算近似值。根据问题描述，用户可能想看到如何生成前n项的系数，或者计算近似值。由于根号2的连分数展开式是固定的，系数是1之后全是2，所以生成系数的代码可能比较简单。例如： #include <iostream> #include <vector> using namespace std; vector<int> continuedFractionSqrt2(int n) { vector<int> coefficients; if (n >= 1) { coefficients.push_back(1); for (int i = 1; i < n; ++i) { coefficients.push_back(2); } } return coefficients; } int main() { int n = 5; vector<int> cf = continuedFractionSqrt2(n); cout << "连分数系数（前" << n << "项）: ["; for (int i = 0; i < cf.size(); ++i) { cout << cf[i]; if (i != cf.size() - 1) cout << "; "; } cout << "]" << endl; return 0; } 这会输出前5项为[1; 2; 2; 2; 2]。但可能用户更希望的是通过某种算法动态计算这些系数，而不仅仅是硬编码。但根号2的连分数展开确实是周期性的，所有后续项都是2，所以手动生成是正确的。然而，如果是其他无理数的连分数展开，可能需要更复杂的算法，比如循环处理整数部分和倒数部分，逐步计算每个系数。例如，一般的连分数展开算法是： 初始化a0为sqrt(n)的整数部分，然后余下部分为1/(sqrt(n)-a0)，然后重复这个过程。但对于根号2来说，这个过程会一直得到2，因为sqrt(2)=1.414..., a0=1，然后余下部分1/(sqrt(2)-1)=sqrt(2)+1，其整数部分是2，接下来余下部分1/( (sqrt(2)+1) -2 )=1/(sqrt(2)-1)=sqrt(2)+1，重复，所以系数都是2。所以，针对根号2的情况，可以简化算法，但如果是通用方法的话，可能需要更复杂的循环。 但用户的问题可能只需要根号2的情况，所以用简单的循环生成系数即可。或者，如果用户希望展示一般的连分数展开方法，但针对根号2，可能需要实现该算法。不过考虑到时间复杂度和复杂度，可能需要用数值方法近似计算，但存在精度问题。例如： 但实际操作中，由于浮点精度限制，可能无法正确得到无限循环的2，所以对于根号2的情况，手动填充是正确的。因此，在示例代码中，生成系数的部分可以如上述代码所示。但是用户的问题可能更关注于计算近似值，而不是生成系数。 所以可能需要明确用户的需求。用户提到的是“根号2的连分数展开 for循环示例”，所以可能的两种情况：生成系数或计算近似值。根据常见的连分数展开实现，计算近似值更可能用到循环，特别是用户提到的for循环。 所以，正确的示例可能是一个计算连分数近似值的循环，如前面提到的computeApproximation函数。例如，下面的C++代码： #include <iostream> using namespace std; double sqrt2_continued_fraction(int iterations) { if (iterations == 0) return 1.0; double result = 2.0; // 从最后一个项开始，假设迭代次数为1时，即仅有一个2 for (int i = 1; i < iterations; ++i) { result = 2.0 + 1.0 / result; } return 1.0 + 1.0 / result; // 加上第一个项1 } int main() { int n = 5; cout << "根号2的连分数展开（前" << n << "项）的近似值为：" << sqrt2_continued_fraction(n) << endl; return 0; } 当n=5时，近似值计算如下： 迭代过程： iterations=5： 初始化result=2.0 循环i从1到4（共4次）： i=1: result = 2 + 1/2 = 2.5 i=2: result = 2 + 1/2.5 = 2.4 i=3: result = 2 + 1/2.4 ≈ 2.416666... i=4: result = 2 + 1/(2.416666..) ≈ 2.413793... 然后返回1 + 1/2.413793 ≈ 1.413793... 而实际的sqrt(2)≈1.41421356，所以五次迭代后的近似值接近。 这个例子展示了如何用for循环计算连分数展开的近似值。这应该是用户所需要的示例。 但需要检查代码是否正确，以及是否遵循了用户提供的引用中的代码格式。用户提供的引用中的代码有一个处理二维数组的例子，使用嵌套的for循环，其中i和j循环变量，判断是否在边界。这可能与当前问题无关，但需要注意代码格式，例如正确使用花括号，变量声明等。 在示例代码中，函数sqrt2_continued_fraction接收迭代次数，并通过for循环逐步计算。每个迭代步骤将当前结果更新为2 + 1.0/result，最后加上初始的1。这符合根号2的连分数展开结构。 因此，最终的代码示例应该类似这样，并且需要解释其工作原理。同时，需要回答用户的问题，即如何实现，并给出示例。 另外，用户可能希望得到系数展开的代码，但根据根号2的特殊性，生成系数的代码是简单的循环添加2。不过，如果用户希望动态计算，可能需要更复杂的逻辑，但这里可能不需要，因为根号2的连分数形式已知。 总结，用户的问题需要两个可能的示例：生成连分数系数或计算近似值。根据问题中的“展开”可能更偏向于生成系数，但计算近似值也是展开的一种应用。因此，可能需要同时提供两种情况的示例，但根据用户的示例请求，可能更倾向于近似值的计算，因为系数生成对于根号2来说太简单。 因此，最终回答应该包括使用for循环计算根号2连分数展开近似值的C++代码示例，并解释其步骤。同时，可能提到系数的生成方法，因为用户的问题明确提到“连分数展开”，而展开的系数是已知的周期性结构。</think>### 如何用C++实现根号2的连分数展开 根号2的连分数展开是周期性无限展开形式：$[1; (2)]$，即首项为1，后续所有项均为2。其近似值可通过有限层数的连分数迭代计算得到。以下是使用`for`循环实现的代码示例及解析： #### 实现原理 连分数展开的近似值计算从**最深层项开始反向迭代**。设展开层数为$n$，则计算过程为： $$ a_n = 2, \quad a_{k-1} = 2 + \frac{1}{a_k} \quad (k=n-1,n-2,\dots,1) $$ 最终近似值为： $$ \sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{a_1} $$ #### C++代码示例 ```cpp #include <iostream> using namespace std; double sqrt2_continued_fraction(int iterations) { if (iterations <= 0) return 1.0; // 至少包含首项1 double result = 2.0; // 初始化最深层项为2 for (int i = 1; i < iterations; ++i) { result = 2.0 + 1.0 / result; // 从后向前逐层计算 } return 1.0 + 1.0 / result; // 加上首项1 } int main() { int layers = 5; cout << "√2的连分数展开（前" << layers << "层）近似值: " << sqrt2_continued_fraction(layers) << endl; return 0; } ``` #### 代码解析 1. **初始化**：`result`初始化为最深层项2。 2. **循环迭代**：通过`for`循环逐层向前计算，每次迭代更新`result`为$2 + \frac{1}{\text{result}}$。 3. **最终结果**：将首项1与第一次迭代结果组合，得到近似值。 例如，当`layers=5`时，计算过程如下： 1. 第5层：$a_5 = 2$ 2. 第4层：$a_4 = 2 + 1/2 = 2.5$ 3. 第3层：$a_3 = 2 + 1/2.5 = 2.4$ 4. 第2层：$a_2 = 2 + 1/2.4 \approx 2.4167$ 5. 第1层：$a_1 = 2 + 1/2.4167 \approx 2.4138$ 6. 最终结果：$1 + 1/2.4138 \approx 1.4138$（真实值$\sqrt{2} \approx 1.4142$） #### 系数生成方法（补充） 若需要生成连分数系数： ```cpp vector<int> generate_coefficients(int n) { vector<int> coeff = {1}; for (int i = 1; i < n; ++i) { coeff.push_back(2); // 后续项全为2 } return coeff; } ```
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