K Nearest Neighbor问题的解决——KD-TREE Implementation

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本文介绍如何利用KD树解决高维空间的最近邻问题，包括KD树的构建过程及KNN检索算法的实现细节。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

命题一：
已知的1000个整数的数组，给定一个整数，要求查证是否在数组中出现？

命题二：
已知1000个整数的数组，给定一个整数，要求查找数组中与之最接近的数字？

命题三：
已知1000个Point（包含X与Y坐标）结构的数组，给定一个Point，要求查找数组中与之最接近（比如：欧氏距离最短）的点。

命题四：
已知1,000,000个向量，每个向量为128维；给定一个向量，要求查找数组中与之最接近的K个向量

对于命题一，如果不考虑桶式、哈希等方式，常用的方法应该是排序后，使用折半查找。
对于命题二，与命题一类似，比较折半查找得出的结果，以及附近的各一个元素，即可。整个过程相当于是把这个包含1000个数组的数据结构做成一颗二叉树，最后只需比较叶子节点与其父节点即可。
对于命题三、四其中命题三和四就是所谓的Nearest Neighbor问题。一种近似解决的方法就是KD-TREE

高维向量的KNN检索问题，在图像等多媒体内容搜索中是相当关键的。关于高维向量的讨论，网上资料比较少；在此，我将一些心得分享给大家。
与二叉树相比，KD-TREE也采用类似的划分方式，只不过树中的各节点均是高维向量，因此划分的方式，采用随机或指定的方式选取一个维度，在该指定维度上进行划分；整体的思想就是采用多个超平面对数据集空间进行两两切分，这一点，有点类似于数据挖掘中的决策树。

一个运用KD-TREE分割二维平面的DEMO如下：

KD-Tree build的代码如下：

   Java代码  
   
  
 private ClusterKDTree(Clusterable[] points, int height, boolean randomSplit){  
     if ( points.length == 1 ){  
         cluster = points[0];  
     }  
     else {  
         splitIndex = chooseSplitDimension//选取切分维度  
             (points[0].getLocation().length,height,randomSplit);  
         splitValue = chooseSplit(points,splitIndex);//选取切分值  
               
         Vector<Clusterable> left = new Vector<Clusterable>();  
         Vector<Clusterable> right = new Vector<Clusterable>();  
         for ( int i = 0; i < points.length; i++ ){  
             double val = points[i].getLocation()[splitIndex];  
             if ( val == splitValue && cluster == null ){  
                 cluster = points[i];  
             }  
             else if ( val >= splitValue ){  
                 right.add(points[i]);  
             } else {  
                 left.add(points[i]);  
             }  
         }  
               
         if ( right.size() > 0 ){  
             this.right = new ClusterKDTree(right.toArray(new  
             Clusterable[right.size()]),  
             randomSplit ? splitIndex : height+1, randomSplit);  
         }  
         if ( left.size() > 0 ){  
             this.left = new ClusterKDTree(left.toArray(new  
             Clusterable[left.size()]),randomSplit ? splitIndex : height+1,  
             randomSplit);  
         }  
     }  
 }  
   
 private int chooseSplitDimension(int dimensionality,int height,boolean random){  
     if ( !random ) return height % dimensionality;  
     int rand = r.nextInt(dimensionality);  
     while ( rand == height ){  
         rand = r.nextInt(dimensionality);  
     }  
     return rand;  
 }  
       
 private double chooseSplit(Clusterable points[],int splitIdx){  
     double[] values = new double[points.length];  
     for ( int i = 0; i < points.length; i++ ){  
     values[i] = points[i].getLocation()[splitIdx];  
     }  
     Arrays.sort(values);  
     return values[values.length/2];//选取中间值以保持树的平衡  
 }  

构建完一颗KD-TREE之后，如何使用它来做KNN检索呢？我用下面的图来表示（20s的GIF动画）：

使用KD-TREE，经过一次二分查找可以获得Query的KNN（最近邻）贪心解，代码如下：

   Java代码  
   
  
 private Clusterable restrictedNearestNeighbor(Clusterable point, SizedPriorityQueue<ClusterKDTree> values){  
     if ( splitIndex == -1 ) {  
         return cluster; //已近到叶子节点  
     }  
           
     double val = point.getLocation()[splitIndex];  
     Clusterable closest = null;  
     if ( val >= splitValue && right != null || left == null ){  
         //沿右边路径遍历，并将左边子树放进队列  
         if ( left != null ){  
             double dist = val - splitValue;  
             values.add(left,dist);  
         }  
         closest = right.restrictedNearestNeighbor(point,values);  
     }  
     else if ( val < splitValue && left != null || right == null ) {  
         //沿左边路径遍历，并将右边子树放进队列  
         if ( right != null ){  
             double dist = splitValue - val;  
             values.add(right,dist);  
         }  
         closest = left.restrictedNearestNeighbor(point,values);  
     }  
     //current distance of the 'ideal' node  
     double currMinDistance = ClusterUtils.getEuclideanDistance(closest,point);  
     //check to see if the current node we've backtracked to is closer  
     double currClusterDistance = ClusterUtils.getEuclideanDistance(cluster,point);  
     if ( closest == null || currMinDistance > currClusterDistance ){  
         closest = cluster;  
         currMinDistance = currClusterDistance;  
     }  
     return closest;  
 }  

事实上，仅仅一次的遍历会有不小的误差，因此采用了一个优先级队列来存放每次决定遍历走向时，另一方向的节点。SizedPriorityQueue代码的实现，可参考我的另一篇文章：
http://grunt1223.iteye.com/blog/909739

一种减少误差的方法（BBF：Best Bin First）是回溯一定数量的节点：

   Java代码  
   
  
 public Clusterable restrictedNearestNeighbor(Clusterable point, int numMaxBinsChecked){  
     SizedPriorityQueue<ClusterKDTree> bins = new SizedPriorityQueue<ClusterKDTree>(50,true);  
     Clusterable closest = restrictedNearestNeighbor(point,bins);  
     double closestDist = ClusterUtils.getEuclideanDistance(point,closest);  
     //System.out.println("retrieved point: " + closest + ", dist: " + closestDist);  
     int count = 0;  
     while ( count < numMaxBinsChecked && bins.size() > 0 ){  
         ClusterKDTree nextBin = bins.pop();  
     //System.out.println("Popping of next bin: " + nextBin);  
     Clusterable possibleClosest = nextBin.restrictedNearestNeighbor(point,bins);  
         double dist = ClusterUtils.getEuclideanDistance(point,possibleClosest);  
         if ( dist < closestDist ){  
         closest = possibleClosest;  
         closestDist = dist;  
     }  
     count++;  
     }  
     return closest;  
 }  

可以用如下代码进行测试：

   Java代码  
   
  
 public static void main(String args[]){  
     Clusterable clusters[] = new Clusterable[10];  
     clusters[0] = new Point(0,0);  
     clusters[1] = new Point(1,2);  
     clusters[2] = new Point(2,3);  
     clusters[3] = new Point(1,5);  
     clusters[4] = new Point(2,5);  
     clusters[5] = new Point(1,1);  
     clusters[6] = new Point(3,3);  
     clusters[7] = new Point(0,2);  
     clusters[8] = new Point(4,4);  
     clusters[9] = new Point(5,5);  
     ClusterKDTree tree = new ClusterKDTree(clusters,true);  
     //tree.print();  
     Clusterable c = tree.restrictedNearestNeighbor(new Point(4,4),1000);  
     System.out.println(c);  
 }  