HDU 5534 Partial Tree 【完全背包+思维】

最新推荐文章于 2019-04-24 20:28:10 发布

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#2015 ACMICPC长春 #HDU5534

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背包问题

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本文探讨了一道经典的图论问题——如何通过连接特定数量的边来构建一棵生成树，使得树中各节点的“酷值”之和最大化。文章详细解析了问题背后的数学原理，并提出了一种基于完全背包问题的优化解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Partial Tree

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit:262144/262144 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1480 Accepted Submission(s): 743

Problem Description

Inmathematics, and more specifically in graph theory, a tree is an undirectedgraph in which any two nodes are connected by exactly one path. In other words,any connected graph without simple cycles is a tree.

You find a partial tree on the way home. This tree has n nodes but lacksof n−1 edges. You wantto complete this tree by adding n−1 edges.There must be exactly one path between any two nodes after adding. As you know,there are nⁿ⁻² ways tocomplete this tree, and you want to make the completed tree as cool aspossible. The coolness of a tree is the sum of coolness of its nodes. Thecoolness of a node is f(d), where f is a predefinedfunction and d isthe degree of this node. What's the maximum coolness of the completed tree?

Input

The first line contains an integer T indicating the total number of testcases.
Each test case starts with an integer n in one line,
then one line with n−1 integers f(1),f(2),…,f(n−1).

1≤T≤2015
2≤n≤2015
0≤f(i)≤10000
There are at most 10 testcases with n>100.

Output

For each test case, please output the maximum coolness of the completed tree in oneline.

Sample Input

2 1

5 1 4

Sample Output

【题意】

给出n，现在需要你连(n-1)条边使之构成一棵生成树，并给出一个函数f(d)表示度数为d的点的价值，问构造后所有点价值总和的最大值。

【思路】

先给出一个结论，n个节点的生成树所有点的度数总和为2*(n-2)。

那现在我们要做的便是把这2*(n-2)个度数分给n个点，求价值和最大值。

很容易联想到完全背包，可以这样转化：现在有(n-1)个物品，每个物品有一个重量和价值，现在需要你从中选出正好n件物品(可以重复选)，且重量和正好为2*(n-1),求物品价值和最大值。

但这样去做由于还要加上一层关于物品件数的循环，复杂度就比较高了。我们需要考虑优化。

我们可以将每个节点先分配一个度，然后剩下(n-2)个度就可以随意分配，而没有个数限制了。

这样的话，就转化成了一个简单的一维完全背包问题了。

但要注意的是每个度数的价值应该转化为它与度数为1的价值的差值再注意下初始化就没问题了。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)

typedef long long ll;
const int maxn = 2020;
const ll mod = 1e9+7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-9;

int val[maxn];
int dp[maxn*2];

int main()
{
    int n;
    rush()
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n-1;i++)
        {
            scanf("%d",&val[i]);
            if(i!=0)    val[i]-=val[0];
        }
        mst(dp,-1);
        dp[0]=n*val[0];
        int V=n-2;
        for(int i=1;i<n;i++)
        for(int j=i;j<=V;j++)
        {
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-i]+val[i]);
        }
        printf("%d\n",dp[V]);
    }
    return 0;
}