2017 Multi-University Training Contest 2 && HDOJ 6050 Funny Function 【思维+快速幂】-优快云博客

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本文介绍了一种使用快速幂算法解决特定递推问题的方法。针对给定的递推公式，文章详细阐述了如何通过观察规律得出简化的计算公式，并利用快速幂算法高效计算F[m][1]的值。此外，还特别讨论了如何处理模运算中的除法问题，通过求逆元的方式实现了准确的取模运算。

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Funny Function

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit:32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 284 Accepted Submission(s): 121

Problem Description

Function Fx,y satisfies:

For given integers N and M,calculate Fm,1 modulo 1e9+7.

Input

There is one integer T in the first line.
The next T lines,each line includes two integers N and M .
1<=T<=10000,1<=N,M<2^63.

Output

For each given N and M,print the answer in a single line.

Sample Input

2 2

3 3

Sample Output

【题意】给出递推公式，递推公式与n有关，求F[m][1]的值。

【思路】这道题我们可以经过打表发现最终的递推公式与n有关：

当n为偶数时：F(m,1)=(2^n -1)^(m-1)*2/3

当n为奇数时：F(m,1)=((2^n -1)^(m-1)*2+1)/3

这样的话可以直接利用快速幂求解，值得注意的是，这里涉及到除法取膜，由于除法取膜不满足公式，所以要求3对于1e9+7的逆元，由拓展欧几里得算法或者费马小定理可以得到逆元为333333336，代入即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mst(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define rush() int T;scanf("%d",&T);while(T--)

typedef unsigned long long ll;
const int maxn = 100005;
const ll mod = 1e9+7;
const ll inv = 333333336;
const int INF = 0x3f3f3f;
const double eps = 1e-9;

ll fast_mod(ll a,ll b,ll Mod)
{
    ll ans=1;
    a%=Mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%Mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%Mod;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    ll n,m;
    rush()
    {
        scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
        if(m==1)
        {
            puts("1");
            continue;
        }
        ll temp=(fast_mod(2,n,mod)-1+mod)%mod;
        ll ans;
        if(n&1)
        {
            ans=(2*fast_mod(temp,m-1,mod)+1)*inv%mod;
        }
        else
        {
            ans=2*fast_mod(temp,m-1,mod)*inv%mod;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return 0;
}