【数据库系统】第二部分 设计与应用开发(6) 关系数据理论

本文属于「数据库系统学习实践」系列文章之一，这一系列着重于「数据库系统知识的学习与实践」。由于文章内容随时可能发生更新变动，欢迎关注和收藏数据库系统系列文章汇总目录一文以作备忘。需要特别说明的是，为了透彻理解和全面掌握数据库系统，本系列文章中参考了诸多博客、教程、文档、书籍等资料，限于时间精力有限，这里无法一一列出。部分重要资料的不完全参考目录如下所示，在后续学习整理中还会逐渐补充：

• 数据库系统概念 第六版 Database System Concepts, Sixth Edition ，作者是 Abraham Silberschatz, Henry F. Korth, S. Sudarshan ，机械工业出版社
• 数据库系统概论 第五版，王珊 萨师煊编著，高等教育出版社

本章学习关系数据理论（即关系规范化理论）。6.1节从数据库逻辑设计中如何构造一个好的数据库模式这一问题出发，阐明关系规范化理论研究的实际背景。6.2节介绍规范化理论，讨论各种范式及可能存在的插入、删除等问题，并直观描述解决方法。6.3节和6.4节进一步讨论关系数据理论，其中6.3节讨论函数依赖的推理规则，6.4节给出模式等价的不同定义及模式分解算法。6.1和6.2节是基本内容，本科学生需要掌握，6.3节和6.4节可作为研究生的学习内容。

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本章参考文献

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6.1 问题的提出

前面讨论了数据库系统的一般概念，介绍了关系数据库的基本概念、关系模型的三个部分以及关系数据库标准语言SQL。但还有一个很基本的问题尚未涉及：针对一个具体问题，应该如何构造一个适合于它的数据库模式——应构造几个关系模式、每个关系由哪些属性组成……？这是数据库设计的问题，准确地说是关系数据库逻辑设计的问题。

实际上，设计任何一种数据库应用系统，不论是层次的、网状的、关系的，都会遇到如何构造合适的数据模式即逻辑结构的问题。由于关系模式有严格的数学理论基础，并且可向别的数据模型转换，因此人们以关系模型为背景来讨论这个问题，形成了数据库逻辑设计的一个有力工具——关系数据库的规范化理论。特别地，规范化理论虽然以关系模型为背景，但它对于一般的数据库逻辑设计同样具有理论上的意义。

首先回顾一下关系模型的形式化定义——在第2章关系数据库中已经讲过，一个关系模式应当是一个五元组 $$R(U,D,DOM,F)$$

• 关系名 $R$ 是符号化的元组语义；
• $U$ 为一组属性；
• $D$ 为属性组 $U$ 中的属性所来自的域；
• $DOM$ 为属性到域的映射；
• $F$ 为属性组 $U$ 上的一个数据依赖

由于 $D,DOM$ 与模式设计关系不大，因此本章中把关系模式看作一个三元组：$$R⟨U,F⟩$$ 当且仅当 $U$ 上的一个关系 $r$ 满足 $F$ 时，$r$ 称为关系模式 $R⟨U,F⟩$ 的一个关系。

作为一个二维表，关系要符合一个最基本的条件——每个分量必须是不可分的数据项。满足了这个条件的关系模式就属于第一范式 1NF 。

在模式设计中，假设已知一个模式 $S_{\varphi }$ ，它仅由单个关系模式组成，问题是要设计一个模式 $S_D$ ，它与 $S_{\varphi }$ 等价，但在某些指定的方面更好一些。这里通过一个例子说明，一个不好的模式会有哪些问题，分析它们产生的原因，并从中找到设计一个更好的关系模式的方法。

在举例之前，先非形式地讨论一下数据依赖的概念：数据依赖是一个关系内部、属性与属性之间的一种约束关系，这种约束关系是通过属性间值的相等与否体现出来的数据间的关联。它是现实世界属性间相互联系的抽象，是数据内在的性质，是语义的体现。人们已经提出了许多种类型的数据依赖，其中最重要的是函数依赖 functional dependency, FD 和多值依赖 multi-valued dependency, MVD（参考资料：Functional dependency in relational database theory、Multivalued dependency）。

函数依赖极为普遍地存在于现实生活中。比如描述一个学生的关系，可以有学号 Sno 、姓名 Sname 、系名 Sdept 等几个属性。由于一个学号只对应一个学生，一个学生只在一个系学习。因此当学号值确定之后，学生姓名、所在系的值也就被唯一地确定了。属性间的这种依赖关系，类似于数学中的函数 $y=f(x)$ ，自变量 $x$ 确定以后，相应的函数值 $y$ 也就唯一地确定了。类似地有 Sno 函数决定 Sname ，Sno 函数决定 Sdept ，记作 $Sno\to Sname,Sno\to Sdept$ 。
【例6.1】建立一个描述学校教务的数据库，该数据库涉及的对象包括学生的学号 Sno 、所在系 Sdept 、系主任姓名 Mname 、课程号 Cno 、成绩 Grade 。假设用一个单一的关系模式 Student 来表示，则该关系模式的属性集合为： U = { S n o , S d e p t , M n a m e , C n o , G r a d e } U = \{ Sno, Sdept, Mname, Cno, Grade\} U={Sno,Sdept,Mname,Cno,Grade} 现实中的已知事实（语义）告诉我们：
① 一个系有若干学生，但一个学生只属于一个系；
② 一个系只有一名（正职）负责人；
③ 一个学生可以选修多门课程，每门课程有若干学生选修；
④ 每个学生学习每一门课程有一个成绩。
于是得到属性组 $U$ 上的一组函数依赖 $F$（即图6.1）： F = { S n o → S d e p t , S d e p t → M n a m e , ( S n o , C n o ) → G r a d e } F = \{ Sno \to Sdept, Sdept \to Mname, (Sno, Cno) \to Grade \} F={Sno→Sdept,Sdept→Mname,(Sno,Cno)→Grade} 如果只考虑函数依赖这一种数据依赖，可以得到一个描述学生的关系模式 $Student⟨U,F⟩$ 。表6.1是某一时刻关系模式 Student 的一个实例，即数据表：
但是，这个关系模式存在以下问题，即不是一个好的模式：

1. 数据冗余
   比如，每个系的系主任姓名重复出现，重复次数与「该系所有学生的所有课程成绩」出现次数相同，这将浪费大量的存储空间。
2. 更新异常 update anomalies
   由于数据冗余，当更新数据库中的数据时，系统要付出很大代价来维护数据库的完整性，否则会面临数据不一致的危险。比如，某系更换系主任后，必须修改与该系学生有关的每个元组。
3. 插入异常 insertion anomalies
   如果一个系刚成立，尚无学生，则无法把这个系及其系主任的信息存入数据库。
4. 删除异常 deletion anomalies
   如果某个系的学生全部毕业了，则在删除该系学生信息的同时，这个系及其系主任的信息也丢掉了。

鉴于存在以上种种问题，可以得出这样的结论：Student 关系模式不是一个好的模式。一个好的模式应当不会发生插入异常、删除异常和更新异常，数据冗余应尽可能少。

为什么会发生这些问题呢？因为这个模式中的函数依赖存在某些不好的性质。这就是本章要讨论的问题。假如把这个单一的关系模式改造一下，分成三个关系模式：
$$\begin{array}{rl}& S(Sno,Sdept,Sno\to Sdept);\\ & SC(Sno,Cno,(Sno,Cno)\to Grade);\\ & DEPT(Sdept,Mname,Sdept\to Mname)\end{array}$$ 这三个模式都不会发生插入异常、删除异常的问题，数据冗余也得到了控制。

一个模式的数据依赖会有哪些不好的性质？如何改造一个不好的模式？这就是下节「规范化理论」要讨论的内容。

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6.2 规范化

本节首先讨论一个关系的属性间的不同依赖情况，讨论如何根据属性间依赖情况、判定关系是否具有某些不合适的性质，通常按属性间依赖情况来区分关系规范化程度，分为第一范式、第二范式、第三范式和第四范式等；然后直观地描述如何将具有不合适性质的关系，转换为更合适的形式。

6.1节关系模式 $Student⟨U,F⟩$ 职工有 $Sno\to Sdept$ 成立，即在任何时刻 $Student$ 的关系实例（即 $Student$ 数据表）中，不可能存在两个元组在 $Sno$ 上的值相等、而在 $Sdept$ 上的值不等。因此，下表的 $Student$ 表是错误的，因为表中有两个元组在 $Sno$ 上都等于 $S_1$ ，而在 $Sdept$ 上一个为计算机系、另一个为自动化系。

6.2.1 函数依赖

定义6.1 设 $R(U)$ 是属性集 $U$ 上的关系模式，$X,Y$ 是 $U$ 的子集。若对于 $R(U)$ 的任意一个可能的关系 $r$ ，$r$ 中不可能存在两个元组，在 $X$ 上的属性值相等、而在 $Y$ 上的属性值不等，则称 $X$ 函数决定 $Y$ 或 $Y$ 函数依赖于 $X$ ，记作 $X\to Y$ 。

函数依赖和别的数据依赖一样，都是语义范畴的概念，只能根据语义来确定一个函数依赖。例如，姓名 $\to$ 年龄这一函数依赖，只有在该部门没有同名人的条件下成立，如果有同名人，则年龄就不再函数依赖于姓名了。

设计者也可对现实世界作强制性规定，例如规定不允许同名人出现，因而使姓名 $\to$ 年龄函数依赖成立。这样，当插入某个元组时，这个元组上的属性值必须满足规定的函数依赖，若发现同名人存在，则拒绝插入该元组（完整性约束条件）。

注意，函数依赖不是指关系模式 $R$ 的某个或某些关系满足的约束条件，而是指 $R$ 的一切关系均要满足的约束条件。下面介绍一些术语和记号。

• $X\to Y$ ，但 $Y⊈X$ ，则称 $X\to Y$ 是非平凡的函数依赖；
• $X\to Y$ ，但 $Y\subseteq X$ ，则称 $X\to Y$ 是平凡的函数依赖。对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义。若不特别声明，总是讨论非平凡的函数依赖。
• $X\to Y$ ，则 $X$ 称为这个函数依赖的决定属性组，也称为决定因素 determinant 。
• 若 $X\to Y,Y\to X$ ，则记为 $X\leftrightarrow Y$ 。
• 若 $Y$ 不函数依赖于 $X$ ，则记为 $X\nrightarrow Y$ 。

定义6.2 在 $R(U)$ 中，如果 $X\to Y$ ，并且对于 $X$ 的任何一个真子集 $X^{\prime }$ ，都有 $X^{\prime }\nrightarrow Y$ ，则称 $Y$ 对 $X$ 完全函数依赖，记作 $$X\stackrel{F}{\to }Y$$ 若 $X\to Y$ ，但 $Y$ 不完全函数依赖于 $X$ ，则称 $Y$ 对 $X$ 部分函数依赖 partial functional dependency ，记作 $$X\stackrel{P}{\to }Y$$

【例6.1】中的 $(Sno,Cno)\stackrel{F}{\to }Grade$ 是完全函数依赖，$(Sno,Cno)\stackrel{P}{\to }Sdept$ 是部分函数依赖，因为 $Sno\to Sdept$ 成立，而 $Sno$ 是 $(Sno,Cno)$ 的真子集。

定义6.3 在 $R(U)$ 中，如果 $X\to Y(Y⊈X),Y\nrightarrow X,Y\to Z(Z⊈Y)$ 则称 $Z$ 对 $X$ 传递函数依赖 transitive functional dependency ，记为 $$X\stackrel{T}{\to }Z$$ 或者写为 $X\stackrel{传递}{\to }Z$（这里加上条件 $Y\nrightarrow X$ ，是因为如果 $Y\to X$ ，则 $X\leftrightarrow Y$ ，实际上是 $X\stackrel{直接}{\to }Z$ ，是直接函数依赖而非传递函数依赖）。

【例6.1】中有 $Sno\to Sdept,Sdept\to Mname$ 成立，所以 $Sno\stackrel{T}{\to }Mname$ 。

6.2.2 键（码）

定义6.4 设 $K$ 是 $R⟨U,F⟩$ 中的属性或属性组合，若 $K\stackrel{F}{\to }U$ ，则 $K$ 为 $R$ 的候选键 candidate key 。

键是关系模式中的一个重要概念。在第2章已给出了关于键的若干定义，这里用函数依赖的概念重新定义键。注意，$U$ 是完全函数依赖于 $K$ 、而非部分函数依赖于 $K$ ，如果 $U$ 部分函数依赖于 $K$ ，即 $K\stackrel{P}{\to }U$ ，则 $K$ 称为超键 super key 。候选键是最小的超键，即 $K$ 的任意一个真子集都不是候选键。若候选键多于一个，则选定其中的一个作为主键 primary key 。

包含在任何一个候选键中的属性，称为主属性 prime attribute ；不包含在任何候选键中的属性，称为非主属性 nonprime attribute 或非键属性 non-key attribute 。最简单的情况，单个属性是键（在后面的章节中，主键或候选键都简称为键，可根据上下文加以识别）；最极端的情况，整个属性组是键，称为全键 all-key 。

【例6.2】关系模式 $S(\underline{Sno},Sdept,Sage)$ 中单个属性 $Sno$ 是键，用下划线标识出来。$SC(\underline{Sno,Cno},Grade)$ 中属性组合 $(Sno,Cno)$ 是键。

【例6.3】关系模式 $R(P,W,A)$ 中，属性 $P$ 表示演奏者、$W$ 表示作品、$A$ 表示听众。假设一个演奏者可以演奏多个作品，某一作品可被多个演奏者演奏，听众也可以欣赏不同演奏者的不同作品，这个关系模式的键为 $(P,W,A)$ ，即 all-key 。

定义6.5 关系模式 $R$ 中属性或属性组 $X$ 并非 $R$ 的键，但 $X$ 是另一个关系模式的键，则称 $X$ 是 $R$ 的外键 foreign key 。

如在 $SC(\underline{Sno,Cno},Grade)$ 中 $Sno$ 不是键，但 $Sno$ 是关系模式 $S(\underline{Sno},Sdept,Sage)$ 的键，则 $Sno$ 是关系模式 $SC$ 的外键。

主键与外键提供了一个表示关系间联系的手段，如【例6.2】中关系模式 $S$ 与 $SC$ 的联系，就是通过 $Sno$ 来体现的。

6.2.3 范式

关系数据库中的关系是要满足一定要求的，满足不同程度要求的为不同范式。满足最低要求的叫第一范式，简称1NF；在第一范式中满足进一步要求的叫第二范式，简称2NF，其余以此类推。

有关范式理论的研究，主要是 E. F. Codd 做的工作。1971-1972年 Codd 系统地提出了1NF、2NF、3NF的概念，讨论了规范化的问题。1974年，Codd 和 Boyce 共同提出了一个新范式，即BCNF。1976年 Fagin 提出了4NF。后来又有研究者提出了5NF。

所谓「第几范式」原本是表示关系的某一种级别，所以常称某一关系模式 $R$ 为第几范式。现在则把范式这个概念，理解成符合某一种级别的关系模式的集合，即 $R$ 为第几范式就可以写成 $R\in \text{xNF}$ 。

对于各种范式之间的关系，有：
$$\text{5NF}\subset \text{4NF}\subset \text{BCNF}\subset \text{3NF}\subset \text{2NF}\subset \text{1NF}$$ 成立，如下图6.2所示：

一个低一级范式的关系模式，通过模式分解 schema decomposition 可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化 normalization 。

6.2.4 2NF

1NF很简单。关系模式作为一个二维表，只要符合一个最基本的条件——每个分量必须是不可分的数据项，就属于第一范式 1NF 。

定义6.6 若 $R\in \text{1NF}$ ，且每一个非主属性完全函数依赖于任何一个候选键，则 $R\in \text{2NF}$ 。

下面先举一个不是 $\text{2NF}$ 的例子。
【例6.4】有关系模式 $SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)$ ，其中 $Sloc$ 为学生的住处，并且每个系的学生住在同一个地方。$SLC$ 的键为 $(Sno,Cno)$ ，则函数依赖有：
$$\begin{array}{rl}& (Sno,Cno)\stackrel{F}{\to }Grade\\ & Sno\to Sdept,(Sno,Cno)\stackrel{P}{\to }Sdept\\ & Sno\to Sloc,(Sno,Cno)\stackrel{P}{\to }Sloc\\ & Sdept\to Sloc\end{array}$$ 函数依赖关系如图6.3所示，用虚线表示部分函数依赖：

另外，$Sdept$ 还能函数决定 $Sloc$ ，这一点在讨论第二范式时暂不考虑。可看到非主属性 $Sdept,Sloc$ 并不完全函数依赖于键，因此 $SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)$ 不符合2NF定义，即 $SLC\notin \text{2NF}$ 。

一个关系模式 $R$ 不属于 $\text{2NF}$ ，就会产生以下几个问题：
（1）插入异常。假若要插入一个学生 $Sno=S7,Sdept=PHY,Sloc=BLD2$ ，但该生还未选课，即这个学生无 $Cno$ ，这一元组就插入进 $SLC$ 中。因为插入元组时必须给定键值，而此时键值的一部分为空，因而学生的固有信息就无法插入。
（2）删除异常。假定某个学生只选一门课，如 $S4$ 就选了一门课 $C3$ ，现在 $C3$ 这门课他也不选了，那么 $C3$ 这个数据项就要删除。而 $C3$ 是主属性，删除了 $C3$ ，整个元组就必须一起删除，使得 $S4$ 的其他信息也被删除了，从而造成删除异常，即不应删除的信息也删除了。
（3）修改复杂。某个学生从数学系 $MA$ 转到计算机科学系 $CS$ ，这本来只需修改此学生元组中的 $Sdept$ 分量即可，但因为关系模式 $SLC$ 中还含有系的住处 $Sloc$ 属性、学生转系将同时改变住处，因而还必须修改元组中的 $Sloc$ 分量。
此外，如果这个学生选修了 $k$ 门课程，则 $Sdept,Sloc$ 就重复存储了 $k$ 次，不仅存储冗余度大，而且必须无遗漏地修改 $k$ 个元组中的全部 $Sdept,Sloc$ 信息，造成修改的复杂化。

分析上面的例子可知，问题在于有两类非主属性，一类如 $Grade$ ，它是完全函数依赖于键的；另一类如 $Sdept,Sloc$ ，它们对键不是完全函数依赖。解决的方法是，用投影分解把关系模式 $SLC$ 分解为两个关系模式：$SC(\underline{Sno,Cno},Grade)$ 和 $SL(\underline{Sno},Sdept,Sloc)$ 。关系模式 $SC,SL$ 属性间的函数依赖，可分别用图6.4、图6.5表示如下：

关系模式 $SC$ 的键为 $(Sno,Cno)$ ，关系模式 $SL$ 的键为 $Sno$ ，这样就使非主属性对键都是完全函数依赖了。

6.2.5 3NF

定义6.7 设关系模式 $R⟨U,F⟩\in \text{1NF}$ ，若 $R$ 中不存在这样的键 $X$ ，属性（组）$Y$ 及非主属性（组）$Z(Y⊈Z)$ ，使得 $X\to Y,Y\to Z$ 成立，$Y\nrightarrow X$ ，则称 $R⟨U,F⟩\in \text{3NF}$ 。

由定义6.7可证明，若 $R\in \text{3NF}$ ，则每个非主属性既不传递依赖于键，也不部分依赖于键。即，可以证明如果 $R$ 属于 $\text{3NF}$ ，则必有 $R$ 属于 $2NF$ 。

在图6.4中关系模式 $SC$ 没有传递依赖，而图6.5中关系模式 $SL$ 存在非主属性对键的传递依赖——在 $SL$ 中，由 $Sno\to Sdept(Sdept\nrightarrow Sno),Sdept\to Sloc$ ，可得 $Sno\stackrel{T}{\to }Sloc$ ，因此 $SC\in \text{ 3NF},SL\notin \text{3NF}$ 。

一个关系模式 $R$ 若不是 $\text{3NF}$ ，就会产生与6.2.4节中 $\text{2NF}$ 相类似的问题，可类比 $\text{2NF}$ 的反义加以说明。解决的办法同样是将 $SL$ 分解为：$SD(Sno,Sdept)$ 和 $DL(Sdept,Sloc)$ 。分解后的关系模式 $SD,DL$ 中不再存在传递依赖。

6.2.6 BCNF

BCNF (Boyce Codd Normal Form) 是由 Boyce 与 Codd 提出的，比上述的 $\text{3NF}$ 又进了一步，通常认为 $\text{BCNF}$ 是修改的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。

定义6.8 关系模式 $R⟨U,F⟩\in \text{1NF}$ ，若 $X\to Y$ 且 $Y⊈X$ 时 $X$ 必含有键，则 $R⟨U,F⟩\in \text{BCNF}$ 。

也就是说，关系模式 $R⟨U,F⟩$ 中，若每个决定因素都包含键，则 $R⟨U,F⟩\in \text{BCNF}$ 。更简单一点说，所有非平凡函数依赖的左部都必须包含候选键，即具有函数依赖集合 $F$ 的关系模式 $R$ 属于 $\text{BCNF}$ 的条件是，任何函数依赖 $X\to Y$ 都是非平凡函数依赖、且 $X$ 是 $R$ 的一个超键。

由 $\text{BCNF}$ 的定义可以得到结论，一个满足 $\text{BCNF}$ 的关系模式有以下性质：

• 所有非主属性，对每个键都是完全函数依赖，既不部分依赖于键，也不传递依赖于键（即满足 $\text{3NF}$ ）;
• 所有主属性，对每个不包含它的键，也是完全函数依赖，既不部分依赖，也不传递依赖；
• 没有任何属性，完全函数依赖于非键的任何一组属性

由于 $R\in \text{BCNF}$ ，按定义排除了任何属性对键的传递依赖及部分依赖，所以 $R\in \text{3NF}$ 。只是若 $R\in \text{3NF}$ ，$R$ 未必属于 $\text{BCNF}$ 。下面用几个例子说明，属于 $\text{3NF}$ 的关系模式有的属于 $\text{BCNF}$ ，有的不属于 $\text{BCNF}$ 。

【例6.5】考察关系模式 $C(Cno,Cname,Pcno)$ ，它只有一个键 $Cno$ ，这里没有任何属性对 $Cno$ 部分或传递依赖，所以 $C\in \text{3NF}$ ，同时 $C$ 中 $Cno$ 也是唯一的决定因素，所以 $C\in \text{BCNF}$ 。对于关系模式 $SC(Sno,Cno,Grade)$ 可做同样分析。

【例6.6】关系模式 $S(Sno,Sname,Sdept,Sage)$ ，假定 $Sname$ 具有唯一性，那么 $S$ 就有两个键，这两个键都由单个属性组成，彼此不相交，其他属性不存在对键的传递依赖与部分依赖，所以 $S\in \text{3NF}$ 。同时 $S$ 中除 $Sno,Sname$ 外没有其他决定因素，所以 $S$ 也属于 $\text{BCNF}$ 。

下面再举几个例子。

【例6.7】关系模式 $SJP(S,J,P)$ 中，$S$ 是学生、$J$ 表示课程、$P$ 表示名次。每个学生选修每门课程的成绩有一定的名次，每门课程中每一名次只有一名学生（即没有并列名次）。由语义可得下面的函数依赖：
$$(S,J)\to P;(J,P)\to S$$ 所以 $(S,J)$ 和 $(J,P)$ 都可作为候选键，这两个键各由两个属性组成，而且它们是相交的。这一关系模式中，显然没有属性对键传递依赖或部分依赖。所以 $SJP\in \text{3NF}$ ，而且除 $(S,J)$ 与 $(J,P)$ 以外没有其他决定因素，所以 $SJP\in \text{BCNF}$ 。

【例6.8】关系模式 $STJ(S,T,J)$ 中，$S$ 是学生、$T$ 是教师、$J$ 是课程。每一教师只教一门课，每门课有若干教师，某一学生选定某门课，就对应一个固定的教师。由语义可得到如下的函数依赖。
$$(S,J)\to T;(S,T)\to J;T\to J$$ 函数依赖关系如下图所示，这里 $(S,J),(S,T)$ 都是候选键：

显然，$STJ$ 是 $\text{3NF}$ ，因为没有任何非主属性对键传递依赖或部分依赖，但 $STJ$ 不是 $\text{BCNF}$ 关系，因为 $T$ 是决定因素，而 $T$ 不包含键。

对于不是 $\text{BCNF}$ 的关系模式，仍然存在不合适的地方，可自己举例指出 $STJ$ 的不合适之处。非 $\text{BCNF}$ 的关系模式，也可以通过分解成为 $\text{BCNF}$ 。例如 $STJ$ 可分解为 $ST(S,T)$ 与 $TJ(T,J)$ ，它们都是 $\text{BCNF}$ 。

$\text{3NF}$ 和 $\text{BCNF}$ 是在函数依赖的条件下，对模式分解所能达到的分离程度的测度。一个模式中的关系模式如果都属于 $\text{BCNF}$ ，那么在函数依赖范畴内，它已实现了彻底的分离，已消除了插入和删除的异常。$\text{3NF}$ 的不彻底性，表现在「可能存在主属性对键的部分依赖和传递依赖」上。

6.2.7 多值依赖

以上完全是在函数依赖的范畴内讨论问题。属于 $\text{BCNF}$ 的关系模式是否就很完美了呢？下面来看一个例子。

【例6.9】学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。每个教师可以讲授多门课程，每种参考书可以供多门课程使用。可用一个非规范化的关系来表示教师 $T$ 、课程 $C$ 、参考书 $B$ 之间的关系，如表6.3所示。把这张表变成一张规范化的二维表，如表6.4所示。

关系模型 $Teaching(C,T,B)$ 的键是 $(C,T,B)$ ，即全键 all-key ，因而 $Teaching\in \text{BCNF}$ 。但是当某一课程（如物理）增加一名讲课教师（如周英）时，必须插入多个（这里是三个）元组——(物理, 周英, 普通物理学), (物理, 周英, 光学原理), (物理, 周英, 物理习题集) 。

同样，某一门课（如数学）要去掉一本参考书（如微分方程），则必须删除多个（这里是两个）元组——(数学, 李勇, 微分方程), (数学, 张平, 微分方程) 。

因而，对数据的增删改很不方便，数据的冗余十分明显！！！仔细考察这类关系模式，发现它具有一种称为多值依赖 Multi-Valued Dependency, MVD 的数据依赖。

定义6.9 设 $R(U)$ 是属性集 $U$ 上的一个关系模式，$X,Y,Z$ 是 $U$ 的子集，并且 $Z=U-X-Y$ 。关系模式 $R(U)$ 中多值依赖 $X\to \to Y$ 成立，当且仅当对 $R(U)$ 的任一关系 $r$ ，给定了一对 $(x,z)$ 值，就有一组 $Y$ 的值，这组值仅仅决定于 $x$ 值而与 $z$ 值无关。

例如，在关系模式 $Teaching$ 中，对于一个 (物理, 光学原理) 有一组 $T$ 值 {李勇, 王军} ，这组值仅仅取决于课程 $C$ 上的值 (物理) 。也就是说，对于另一个 (物理, 普通物理学) ，它对应的一组 $T$ 值仍是 {李勇, 王军} ，尽管这时参考书 $B$ 的值已经改变了。因此 $T$ 多只依赖于 $C$ ，即 $C\to \to T$ 。

对于多值依赖的另一个等价的形式化定义是：在 $R(U)$ 的任一关系 $r$ 中，如果存在元组 $t,s$ 使得 $t[X]=s[X]$ ，那么就必然存在元组 $w,v\in r$（$w,v$ 可与 $s,t$ 相同），使得 $w[X]=v[X]=t[X]$ ，而 $w[Y]=t[Y],w[Z]=s[Z],v[Y]=s[Y],v[Z]=t[Z]$（即交换 $s,t$ 元组的 $Y$ 值所得的两个新元组，必定在 $r$ 中），则 $Y$ 多值依赖于 $X$ ，记为 $X\to \to Y$ 。这里，$X,Y$ 是 $U$ 的子集，$Z=U-X-Y$ 。（？）

若 $X\to \to Y$ ，而 $Z=\varnothing$ ，则称 $X\to \to Y$ 为平凡的多值依赖。即对于 $R(X,Y)$ ，如果有 $X\to \to Y$ 成立，则 $X\to \to Y$ 为平凡的多值依赖。

下面再举一个具有多值依赖的关系模式的例子。
【例6.10】关系模式 $WSC(W,S,C)$ 中，$W$ 表示仓库、$S$ 表示保管员、$C$ 表示商品。假设每个仓库有若干个保管员、有若干种商品。每个保管员保管所在仓库的所有商品，每种商品被所有保管员保管。列出关系如表6.5所示。

按照语义对于 $W$ 的每一个值 $W_i$ ，$S$ 有一个完整的集合与之对应、而不论 $C$ 取何值。所以 $W\to \to S$ 。

如果用图6.7来表示这种对应，则对于 $W$ 的某一个值 $W_i$ 的全部 $S$ 值记作 { S } w i \{ S \}_{wi} {S}wi​（表示在此仓库工作的全部保管员），全部 $C$ 值记作 { C } w i \{ C\}_{wi} {C}wi​（表示在此仓库存放的所有商品）。应当有 { S } w i \{ S\}_{wi} {S}wi​ 的每一个值和 { C } w i \{ C\}_{wi} {C}wi​ 中的每一个 $C$ 值对应。于是

6.2.8 4NF

可用投影分解的方法，消去非平凡且非函数依赖的多值依赖，例如可把 $WSC$ 分解为 $WS(W,S),WC(W,C)$ 。在 $WS$ 中虽然有 $W\to \to S$ ，但这是平凡的多值依赖。$WS$ 中已不存在非平凡、非函数依赖的多值依赖，所以 $WS\in 4NF$ ，同理 $WC\in 4NF$ 。

函数依赖和多值依赖，是两种最重要的数据依赖。如果只考虑函数依赖，则属于 $\text{BCNF}$ 的关系模式规范化程度，已经是最高的了；如果考虑多值依赖，则属于 $4NF$ 的关系模式规范化程度，才是最高的。事实上，数据依赖中除函数依赖和多值依赖之外，还有其他数据依赖。

例如有一种连接依赖，函数依赖是多值依赖的一种特殊情况，而多值依赖实际上又是连接依赖的一种特殊情况，但连接依赖不像函数依赖和多值依赖可由语义直接导出，而是在关系的连接运算时才反映出来。存在连接依赖的关系模式，仍可能遇到数据冗余及插入、修改、删除异常等问题。如果消除了属于 $4NF$ 的关系模式中存在的连接依赖，则可进一步达到 $5NF$ 的关系模式。这里不再讨论连接依赖和 $5NF$ ，有兴趣的读者可参阅有关书籍。

6.2.9 规范化小结

在关系数据库中，对关系模式的基本要求是满足第一范式，这样的关系模式就是合法的、允许的。但是，人们发现有些关系模式存在插入、删除异常，以及修改复杂、数据冗余等问题，需要寻求解决这些问题的方法，这就是规范化的目的。

规范化的基本思想，是逐步消除数据依赖中不合适的部分，使模式中的各关系模式达到某种程度的分离，即 「一事一地」的模式设计原则。让一个关系描述一个概念、一个实体或者实体间的一种联系。若多于一个概念，就把它分离出去。因此，所谓规范化实质上就是概念的单一化。

人们认识这个原则是经历了一个过程的，从认识非主属性的部分函数依赖的危害开始，$2NF,3NF,BCNF,4NF$ 的相继提出，是这个认识过程逐步深化的标志。图6.8可以概括这个过程：

关系模式的规范化过程，就是通过对关系模式的分解来实现的，即把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模式。这种分解不是唯一的。下面将进一步讨论分解后的关系模式与原关系模式「等价」的问题，以及分解的算法。

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6.3 数据依赖的公理系统

数据依赖的公理系统，是模式分解算法的理论基础。下面首先讨论函数依赖的一个有效而完备的公理系统——Armstrong公理系统。

定义6.11 对于满足一组函数依赖 $F$ 的关系模式 $R⟨U,F⟩$ ，其任何一个关系 $r$ ，若函数依赖 $X\to Y$ 都成立（即 $r$ 中任意两元组 $t,s$ ，若 $t[X]=s[X]$ ，则 $t[Y]=s[Y]$ ，即两元组在 $X$ 属性上的值相等，就一定有两元组在 $Y$ 属性上的值相等），则称 $F$ 逻辑蕴涵 $X\to Y$ 。

为了求得给定关系模式的键，为了从一组函数依赖求得蕴涵的函数依赖，例如已知函数依赖集合 $F$ ，要问 $X\to Y$ 是否为 $F$ 所蕴涵，就需要一套推理规则。下面这组推理规则是1974年首先由 Armstrong 提出来的。

Armstrong公理系统 Armstrong's axiom 设 $U$ 为属性集总体，$F$ 是 $U$ 上的一组函数依赖，于是有关系模式 $R⟨U,F⟩$ ，对 $R⟨U,F⟩$ 来说有以下的推理规则：

• A1 自反律 reflexivity rule ：若 $Y\subseteq X\subseteq U$ ，则 $X\to Y$ 为 $F$ 所蕴涵；
• A2 增广律 augmentation rule ：若 $X\to Y$ 为 $F$ 所蕴涵，且 $Z\subseteq U$ ，则 $XZ\to YZ$ 为 $F$ 所蕴涵（此处的 $XZ$ 代表 $X\cup Z$ ，$YZ$ 代表 $Y\cup Z$）
• A3 传递律 transitivity rule ：若 $X\to Y$ 及 $Y\to Z$ 为 $F$ 所蕴涵，则 $X\to Z$ 为 $F$ 所蕴涵。

注意，由自反律所得到的函数依赖均是平凡的函数依赖，自反律的使用并不依赖于 $F$ 。

定理6.1 Armstrong推理规则是正确的。
证明 下面从定义出发，证明推理规则的正确性。
（1）
（2）
（3）

根据A1、A2、A3这三条推理规则，可得到下面三条很有用的推理规则：

• 合并规则 union rule ：由 $X\to Y,X\to Z$ ，则 $X\to YZ$ ；
• 伪传递规则 pseudo transitivity rule ：由 $X\to Y,WY\to Z,$ ，有 $XW\to Z$ ；
• 分解规则 decomposition rule ：由 $X\to Y$ 及 $Z\subseteq Y$ ，有 $X\to Z$ 。

根据合并规则和分解规则，很容易得到这样一个重要事实：
引理6.1 $X\to A_1{A}_2\dots A_k$ 成立，当且仅当 $X\to A_i$ 成立（$i=1,2,\dots ,k$）。
定义6.12 在关系模式 $R⟨U,F⟩$ 中为 $F$ 所逻辑蕴涵的函数依赖的全体，叫做 $F$ 的闭包 closure ，记为 $F^{+}$ 。

人们把自反律、增广律、传递律称为Armstrong公理系统。Armstrong公理系统是有效的、完备的。Armstrong公理的 有效性 指的是：由 $F$ 出发，根据Armstrong公理推导出来的每个函数依赖，一定在 $F^{+}$ 中；完备性指的是：$F^{+}$ 中的每个函数依赖，必定可以由 $F$ 出发根据Armstrong公理推导出来。

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6.4 模式的分解**

6.4.1 模式分解的三个定义

6.4.2 分解的无损连接性和保持函数依赖性

6.4.3 模式分解的算法

【数据库基础】学习笔记4 函数依赖、关系模式的规范化