洛谷 P3799 妖梦拼木棒【枚举/组合数学】

题目背景
上道题中，妖梦斩了一地的木棒，现在她想要将木棒拼起来。

题目描述
有 $n$ 根木棒，现在从中选 $4$ 根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？

答案对 $10^9+7$ 取模。

输入格式
第一行一个整数 $n$ 。第二行 $n$ 个整数，第 $i$ 个整数 $a_i$ 代表第 $i$ 根木棒的长度。

输出格式
一行一个整数代表答案。

输入输出样例
输入 #1

4 
1 1 2 2

输出 #1

1

说明/提示
数据规模与约定

• 对于 $30\%$ 的数据，保证 $n\le 5\times 10^3$。
• 对于 $100\%$ 的数据，保证 $1\le n\le 10^5$，$0\le a_i\le 5\times 10^3$ 。

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解法 枚举+哈希表+组合

这道题有点意思。由于要用 $4$ 根木棒组成正三角形，就必须要有两根木棒长度相等，剩下的一边，则由 $2$ 根长度之和等于 前 $2$ 根相等的木棒的长度 的木棒组成。

由于木棒长度 $a_i\le 5000$ ，用 $O(n^2)$ 的算法就能过，于是直接两重循环，暴力枚举上述两种木棒的长度，计算组合方案数并累加。

此处外层循环 $cnt[]$ 数组，$cnt[i]$ 为长度为 $i$ 的木棒的个数。要从 $cnt[i]$ 根长度为 $i$ 的木棒中取出 $2$ 根，即计算组合数 $C(cnt[i],2)$；内层循环中，要从剩余的木棒中取出两根长度之和为 $i$ 的木棒，令一根长度为 $j$ ，另一根长度则为 $i-j$ ，为避免重复计算，设 $j\le i-j$ 。分类讨论：

1. $j==i-j$ 时，从长度为 $j$ 的木棍中取出 $2$ 根合为一条边， 方案数为 $C(cnt[j],2)$ ；
2. $j\ne i-j$ 时，从长度为 $j$ 和长度为 $i-j$ 的木棍中各取出一根，方案数为 $C(cnt[j],1)\times C(cnt[i-j],1)$

将所有外层方案数和内层方案数的乘积汇总，就是总的方案数。不过题目中有些地方描述不清楚， $a_i$ 可以为 $0$ ，那么可以用三根长度一样的木棍加上一根长度为零的木棍，可以组成一个正三角形吗？三根长度为零的木棍，可以组成正三角形吗？尝试提交了几次，从AC代码中发现，这些情况是不允许的：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5e3 + 10, mod = 1e9 + 7;
int n, t, cnt[maxn], maxLen = 0, ans = 0;
bool flag = true; //所有长度的木棍都是唯一的 
int C(int n, int k) { //n个数中选出k个数的组合数 
	return (k == 1 ? n : n * (n - 1) / 2) % mod; //k要么为1,要么为2 
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		scanf("%d", &t);
		++cnt[t];
		if (cnt[t] > 1) flag = false;
		maxLen = max(maxLen, t); //最长的木棍长度 
	}
	if (flag) { printf("0"); return 0; } //所有长度的木棍都是唯一的,无法组成正三角形
	for (int i = 2; i <= maxLen; ++i) { //枚举外层的两根长度为i的木棍组合 
		if (cnt[i] <= 1) continue; //枚举内层的一根木棍长度为j,另一根长度为i-j
		int times = C(cnt[i], 2) % mod; 
		for (int j = 1; j <= i / 2; ++j) { //注意避免重复计算,令j<=i-j 
//			if (j == 0 && cnt[j] >= 1 && cnt[i] >= 3)
//				ans += C(cnt[i], 3) * C(cnt[j], 1);
			if (j == i - j && cnt[j] >= 2)
				ans += times * C(cnt[j], 2) % mod;
			else if (j != i - j && cnt[j] >= 1 && cnt[i - j] >= 1) 
				ans += times * C(cnt[j], 1) * C(cnt[i - j], 1) % mod;
			ans %= mod;
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}