本文通过一系列具体的实例展示了如何利用计算机辅助解决高考数学题目，包括复数运算、概率统计、几何问题等多个方面，旨在探讨计算机在高考解题中的应用潜力。
剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了[九转金丹]之第八转的修炼。设想一个场景：
如果允许你带一台不连网的计算机去参加高考，你会放弃选择一个手拿计算器和草稿本吗
？阿伟决定和小伟来尝试一下用计算机算高考题会是怎样的感觉。
代数式的运算，有了这个才能玩：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了[九转金丹]之第八转的修炼。设想一个场景：
如果允许你带一台不连网的计算机去参加高考，你会放弃选择一个手拿计算器和草稿本吗
？阿伟决定和小伟来尝试一下用计算机算高考题会是怎样的感觉。
正剧开始：
星历2016年05月23日 17:06:45, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起做着2009年的江苏省数学高考题]。
这一年的题难度和上一年持平，可能在正卷部分稍难点，但附加卷
就是送分啦，二三环的难度，估计20分钟内可以解完四道附加题。
还是那句话：单道题难度其实只有四环难度，只是因为要解答的题多，拉升了整张卷子的难度。
<span style="font-size:18px;">#题1
def tmp1():
z_1 = 4+29j;
z_2 = 6+9j;
z = (z_1 - z_2)*(1j);
real = z.real;
print(real);
>>>
-20.0</span>
<span style="font-size:18px;">#题2
def tmp2():
A = 30;
a = 2;
b = 3**0.5;
ab = a*b*math.cos(A/180*math.pi);
print(ab);
>>>
3.0</span>
<span style="font-size:18px;">#题3
def tmp3():
poly = Polynomial();
f_x = [1, -15, -33, 6];
#函数的导数
f_x_der = np.polyder(f_x);
#print(f_x_der);
descend = poly.inequality(f_x_der, '<');
print(descend);
>>>
[[-1.0, 11.0]]</span>
2008年以前的排列组合那块的那些难题从此一去不返，变成了这种送分的题。
<span style="font-size:18px;">#题6
def tmp6():
A = [6, 7, 7, 8, 7]
B = [6, 7, 6, 7, 9]
analyze = alg.DataAnalyze();
A = analyze.format(A);
B = analyze.format(B);
s2_A = analyze.variance(A);
s2_B = analyze.variance(B);
print(s2_A, s2_B);
>>>
0.4 1.2</span>
这个题比较阴险，主要是一但S>=0 ,T就不再重求，但口算反而不易错。
<span style="font-size:18px;">#题7
def tmp7():
S = 0;
T = 1;
while (S < 10):
S = T*T - S;
if (s > 10):
break;
T = T + 2;
print('S, T = {0}, {1}'.format(S, T));
W = S + T;
print(W);
>>>
S, T = 1, 3
S, T = 8, 5
S, T = 17, 5
22</span>
这个就是送分题的典型代表，就这个难度，算一环吧。
<span style="font-size:18px;">#题9
def tmp9():
#曲线C及其导数
curve_C = [1, 0, -10, 3];
curve_C_val = np.poly1d(curve_C);
curve_C_der = np.polyder(curve_C);
print(curve_C_der);
quadratic = np.polyadd(curve_C_der, [-2]);
print(quadratic);
root = np.roots(quadratic);
print(root);
for i in range(len(root)):
print([root[i], curve_C_val(root[i])]);
>>>
[ 3 0 -10]
[ 3 0 -12]
[ 2. -2.]
[2.0000000000000004, -8.9999999999999982]
[-1.9999999999999996, 15.0]</span>
<span style="font-size:18px;">#题10
def tmp10():
a = (5**0.5-1)/2;
b = [[-1, 1], [2, 3], [-3, -2]];
for i in range(len(b)):
f_m = a**(b[i][0]);
f_n = a**(b[i][1]);
print('{0} -- {1}, {2}'.format(i, f_m, f_n));
>>>
0 -- 1.6180339887498947, 0.6180339887498949
1 -- 0.3819660112501052, 0.23606797749978975
2 -- 4.236067977499789, 2.6180339887498945</span>
<span style="font-size:18px;">#题13
def tmp13():
#假定
a, b = 2, 1;
a2 = a*a;
b2 = b*b;
c = (a2-b2)**0.5;
#点
A_1 = [-a, 0];
B_2 = [0, b];
B_1 = [0, -b];
F = [c, 0];
#求T点
T = geo.crossPointOfTwoLine([A_1, B_2], [B_1, F]);
print(T); #[25.856406460551007, 13.928203230275503]
#如果已知a, b倒是可以求出交点Y, 现在全是代数
#真不好求，先放着吧
</span>
<span style="font-size:18px;">#题14
def tmp14():
b = [-53, -23, 19, 37, 82];
b = [19, -23, 37, -53, 82];
for i in range(len(b)):
b[i] = b[i] - 1;
print(b); #[18, -24, 36, -54, 81]
for i in range(len(b) - 1):
print(b[i+1]/b[i]); # q = -1.5
</span>
<span style="font-size:18px;">#题15
def tmp15():
val = [['A_[c]', 'cosa'], ['A_[s]', 'sina'],
['B_[c]', 'cosb'], ['B_[s]', 'sinb']];
a = alg.strformat(['4A_[c]', 'A_[s]']);
b = alg.strformat(['B_[s]', '4B_[c]']);
c = alg.strformat(['B_[c]', '-4B_[s]']);
d = alg.strformat(['-2']);
#e = b - 2c
e = alg.stradd(b, alg.strdot(c, d));
e = alg.strcombine(e);
print(e); #['(9)*B_[s]^[1]', '(2)*B_[c]^[1]']
#求a 与(b-2c)的乘积
f = alg.strdot(a, e);
f = alg.strcombine(f);
print(f);
#['(36)*A_[c]^[1]*B_[s]^[1]', '(8)*A_[c]^[1]*B_[c]^[1]',
#'(9)*A_[s]^[1]*B_[s]^[1]', '(2)*A_[s]^[1]*B_[c]^[1]']
#得出了一个关系式，但离解决还有好几环</span>
<span style="font-size:18px;">#题17
def tmp17():
a1 = alg.strformat(['a_[1]']);
a2 = alg.strformat(['a_[1]', 'd']);
a3 = alg.strformat(['a_[1]', '2d']);
a4 = alg.strformat(['a_[1]', '3d']);
a5 = alg.strformat(['a_[1]', '4d']);
a6 = alg.strformat(['a_[1]', '5d']);
a7 = alg.strformat(['a_[1]', '6d']);
#第一个等式
f_1 = alg.strcombine(alg.strpow_n(a2, 2)+ alg.strpow_n(a3, 2));
f_2 = alg.strcombine(alg.strpow_n(a4, 2)+alg.strpow_n(a5, 2));
f_3 = alg.strcombine(alg.stradd(f_1, alg.minus(f_2)));
print(f_1);
print(f_2);
print(f_3); #这个式子是：['(0)', '(-8)*a_[1]^[1]*d^[1]', '(-20)*d^[2]']
#所以a_[1] = -2.5d
#第二个式子
sum_ = alg.strcombine(a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7);
print(sum_); #['(7)*a_[1]^[1]', '(21)*d^[1]'] = 7
#所以2d = 7, d = -5 a_[1] = 2
>>>
['(2)*a_[1]^[2]', '(6)*a_[1]^[1]*d^[1]', '(5)*d^[2]']
['(-2)*a_[1]^[2]', '(-14)*a_[1]^[1]*d^[1]', '(-25)*d^[2]']
['(0)', '(-8)*a_[1]^[1]*d^[1]', '(-20)*d^[2]']
['(7)*a_[1]^[1]', '(21)*d^[1]']</span>
下面就是送分的附加题了：
<span style="font-size:18px;">#题21
def tmp21B():
A = [[3, 2], [2, 1]];
B = np.linalg.inv(A);
print(B);
C = np.dot(A, B);
print(C);
>>>
[[-1. 2.]
[ 2. -3.]]
[[ 1. 0.]
[ 0. 1.]]
</span>
这些题每个的分数都好拿，估计考生郁闷的是时间不够。
下面贴一下工具：
<span style="font-size:18px;">#一般要包含这几个模块(都写出来了)
import math;
import geo;
import alg;
import numpy.f2py
import numpy.random
import numpy.polynomial
import numpy.ma
import numpy.distutils
import numpy.compat
import numpy as np;
import numpy.linalg
import numpy.matrixlib
import numpy.fft
import numpy.distutils.fcompiler
import numpy.core
import numpy.distutils.command
</span>代数式的运算，有了这个才能玩：
<span style="font-size:18px;">###
# @usage 代数式字符串的运算
# @author mw
# @date 2016年05月17日 星期二 16:48:56
# @param
# @return
#
###
#计算代数式用, 传入的是单项式，返回coef*expr的形式
def strmono(s):
#'x', '-x', '2x', '-2x', '-2x^[2]', '3x_[2]^[3]', '-3x_[2]^[3]'
stmp = s;
size = len(stmp);
alphaIndex = 0;
signIndex = 0;
for i in range(size):
if (stmp[i].isalpha()):
alphaIndex = i;
break;
if (i >= size-1):
alphaIndex = i+1;
if (stmp[0] == '-'):
signIndex = 1;
if (signIndex >= alphaIndex):
return monoformat('(-1)*'+stmp[alphaIndex:]);
else:
if alphaIndex >= size:
return monoformat('(-'+stmp[signIndex:alphaIndex]+')');
return monoformat('(-'+stmp[signIndex:alphaIndex]+')*'+stmp[alphaIndex:]);
elif (stmp[0] == '('):
#已经格式化的情况，这种情况输入时是(coef)*expr
return monoformat(stmp);
else:
signIndex = 0;
if (signIndex >= alphaIndex):
return monoformat('(1)*'+stmp[alphaIndex:]);
else:
if alphaIndex >= size:
return monoformat('('+stmp[signIndex:alphaIndex]+')');
return monoformat('('+stmp[signIndex:alphaIndex]+')*'+stmp[alphaIndex:]);
#计算两个单项式的乘积
def strmul(mono1, mono2):
#这个处理是保证每个单项式统一格式(coef)*expr
'''
if (mono1[0] != '(' or mono2[0] != '('):
#如果没有规格化，那么就做一下
mono1 = strmono(mono1);
mono2 = strmono(mono2);
'''
stmp1 = mono1;
stmp2 = mono2;
#乘号的位置
signIndex1 = stmp1.find('*');
signIndex2 = stmp2.find('*');
if (signIndex1 == -1):
coef1 = stmp1;
expr1 = '';
else:
coef1 = stmp1[:signIndex1];
expr1 = stmp1[signIndex1+1:];
if (signIndex2 == -1):
coef2 = stmp2;
expr2 = '';
else:
coef2 = stmp2[:signIndex2];
expr2 = stmp2[signIndex2+1:];
coef = coef1+'*'+coef2;
if (signIndex1 == -1 or signIndex2 == -1):
expr = expr1+expr2;
else:
expr = expr1+'*'+expr2;
if (expr == ''):
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')';
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')*'+expr;
#计算两个单项式的商
def strdiv(s1, s2):
#这个处理是保证每个单项式统一格式(coef)*expr
stmp1 = strmono(s1);
stmp2 = strmono(s2);
#乘号的位置
signIndex1 = stmp1.find('*');
signIndex2 = stmp2.find('*');
if (signIndex1 == -1):
coef1 = stmp1;
expr1 = '';
else:
coef1 = stmp1[:signIndex1];
expr1 = stmp1[signIndex1+1:];
if (signIndex2 == -1):
coef2 = stmp2;
expr2 = '';
else:
coef2 = stmp2[:signIndex2];
expr2 = stmp2[signIndex2+1:];
coef = coef1+'/'+coef2;
if (signIndex1 == -1 and signIndex2 != -1):
expr = '('+expr2+')^[-1]';
elif (signIndex1 == -1 or signIndex2 == -1):
expr = expr1+expr2;
else:
expr = expr1+'/'+expr2;
if (expr == ''):
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')';
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')*'+expr;
#找一个字符串中所有待查找子串的位置，返回位置阵列
def findall(string, sub):
size = len(string);
index = [];
cur = string.find(sub);
index.append(cur)
while (index[-1] != -1):
cur = string.find(sub, index[-1]+1);
index.append(cur);
return index;
#计算单项式的乘方, s^n
def strpow(s, n):
stmp = strmono(s);
signIndex = stmp.find('*');
if (signIndex == -1):
coef = stmp+'**'+str(n);
expr = '';
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')';
else:
coef = stmp[:signIndex]+'**'+str(n);
expr = '('+stmp[signIndex+1:]+')^['+str(n)+']';
return '('+str(round(eval(coef), 6))+')*'+expr;
#计算代数式用，传入的两个阵列都具有['s1', 's2', ..., 'sn']这样的格式
def strdot(array1, array2):
size1 = len(array1);
size2 = len(array2);
result = [];
for i in range(size1):
for j in range(size2):
result.append(strmul(array1[i], array2[j]));
return result;
#把格式化后的单项式分解成[coef, expr]对组的形式
def explodemono(mono):
stmp = mono;
#乘号的位置
signIndex = stmp.find('*');
if (signIndex == -1):
coef = stmp;
expr = '';
else:
coef = stmp[:signIndex];
expr = stmp[signIndex+1:];
return [coef, expr];
#合并同类项，传入的阵列具有['s1', 's2', ..., 'sn']这样的格式
def strcombine(array):
size = len(array);
explode = [];
for i in range(size):
#这里传入的阵列已经是规格化后的了，否则要加一层strmono处理。
explode.append(explodemono(monocombine(array[i])));
result = [];
for i in range(size):
size_1 = len(result);
if size_1 <= 0:
result.append(explode[i]);
else:
for j in range(size_1):
if result[j][1] == explode[i][1]:
result[j][0] = result[j][0] + '+' + explode[i][0];
break;
if j >= size_1-1:
result.append(explode[i]);
result_1 = [];
size_1 = len(result);
for j in range(size_1):
result[j][0] = str(round(eval(result[j][0]), 6));
if (result[j][0] == '0'):
result_1.append('(0)');
else:
tmps = result[j][1];
if (tmps == ''):
result_1.append('('+result[j][0]+')');
else:
result_1.append('('+result[j][0]+')*'+result[j][1]);
return result_1;
#指数为正整数的乘方
def strpow_n(array, n):
#计算
result = [];
if (n == 1):
result = array;
elif (n == 2):
result = strdot(array, array);
elif (n >= 3):
tmp = strdot(array, array);
n -= 2;
while (n > 0):
result = strdot(tmp, array);
tmp = result;
n -= 1;
return result;
#阵列取负
def minus(array):
for i in range(len(array)):
if array[i][1] == '-':
#array[i][0]是'(, 这是规范
array[i] = array[i][0]+array[i][2:];
else:
array[i] = array[i][0]+'-'+array[i][1:];
return array;
###
# @usage 代数式运算
# @author mw
# @date 2016年05月18日 星期三 07:37:01
# @param
# @return
#
###
#两个多项式相加，合并同类项不在此进行
def stradd(array1, array2):
#两个多项式相加，这里直接返回数组的相加
return array1+array2;
#为了简便输入，不要求输入规范化代数式，(coef)*expr形式
#所以在此对多项式进行规范化
#至于单项式规范化，调用strmono函数即可
def strformat(array):
for i in range(len(array)):
array[i] = strmono(array[i]);
return array;
#把单项式完全格式化，使经过运算的没运算过的都具有统一的格式
def monoformat(mono):
#规范化单项式，保证任意两个参数之间都添加一个'*'号
#这是为了和经过代数式乘法运算之后的格式统一
chars = len(mono);
s = '';
for i in range(chars-1):
if mono[i] == ']' and mono[i+1].isalpha():
s += mono[i]+'*';
elif mono[i].isalpha() and mono[i+1].isalpha():
s += mono[i]+'*';
#这里还有一个死角，就是下标或指数如果是用的代数式，并且是多项相乘
#可能会有一点问题，暂时不考虑了
else:
s += mono[i];
s += mono[-1];
return s;
#把单项式炸开，这里的单项式已经达到最大规范化，是(coef)*x_[1]^[2]*y_[2]^[2]这种结构形式了
#'*'号是要作为分隔符的，不可缺少
def explodemono_2(mono):
part = mono.split('*');
#每个部分的[前部，指数部]的对组
map_ = [];
for i in range(len(part)):
expIndex = part[i].find('^');
if (expIndex != -1):
map_.append([part[i][:expIndex], part[i][expIndex:]]);
else:
s = part[i];
#系数
if s[0] == '(':
map_.append([part[i], '']);
#代数式
else:
map_.append([part[i], '^[1]']);
map_ = sorted(map_, key = lambda a : a[0]);
return map_;
#单项式同类项合并
def monocombine(mono):
map_ = explodemono_2(mono);
size = len(map_);
result = [];
for i in range(size):
size_1 = len(result);
if (size_1 <= 0):
result.append(map_[i]);
else:
for j in range(size_1):
if result[j][0] == map_[i][0]:
#双方的中括号位置
#由于规范化后的原因，这个括号是一定有的
p1 = result[j][1].find('[');
p2 = result[j][1].find(']');
p3 = map_[i][1].find('[');
p4 = map_[i][1].find(']');
s = result[j][1][p1+1:p2]+'+'+map_[i][1][p3+1:p4];
size_2 = len(s);
for k in range(size_2):
if s[k].isalpha():
break;
#如果没有字符参数，可以计算出结果，就计算
if (k >= size_2-1):
s = str(eval(s));
result[j][1] = '^['+s+']';
break;
if (j >= size_1-1):
result.append(map_[i]);
size_1 = len(result);
s = '';
for i in range(size_1):
if (i > 0 and result[i][1] == '^[0]'):
continue;
s += result[i][0]+result[i][1];
if (i < size_1-1):
s += '*';
return s;
#排列公式
def arrangement(n, m):
if n < m:
return arrangement(m, n);
else:
factorial = 1;
for i in range(n, n-m, -1):
factorial*=i;
return factorial;
#组合公式
def combination(n, m):
if (n < m):
return combination(m, n);
else:
return arrangement(n, m)/arrangement(m,m);
#解一元二次方程
class Equation():
def quadratic(self, array):
a, b, c = array[0], array[1], array[2];
if (a < 0):
a, b, c = -a, -b, -c;
p = q = delta = 0;
x1 = x2 = 0;
s = '';
if (a == 0):
return [-c/b];
else:
delta = b**2 - 4*a*c;
if (delta < 0):
real = -b/(2*a);
image = (-delta)**0.5;
return [complex(real, -image), complex(real, image)];
else:
if (abs(delta) < 1e-6):
x1 = x2 = -b/(2*a);
else:
x1 = (-b-delta**0.5)/(a*2);
x2 = (-b+delta**0.5)/(a*2);
return [x1, x2];
###
# @usage 数据的集中分析类
# @author mw
# @date 2016年05月20日 星期五 10:06:47
# @param
# @return
#
###
class DataAnalyze():
#由于numpy的方法接口只对narray开放，所以，数组先要格式化一下
#对于自己的数组而言，这个方法是必须要先调用一下，才能使用numpy方法的
def format(self, array):
return numpy.array(array);
#求和
def sum(self, array):
return array.sum();
#均值
def average(self, array):
return self.sum(array)/len(array);
#方差
def variance(self, array):
array_ = array*array;
sum_ = array_.sum();
aver_ = self.average(array);
result = sum_/len(array) - aver_**2;
return result;
#标准差
def RMS(self, array):
return (self.variance)**0.5;
</span>这个是多项式的，比较可有可无：
<span style="font-size:18px;">###
# @usage 多项式运算相关
# @author mw
# @date 2016年05月23日 星期一 09:36:12
# @param
# @return
#
###
class Polynomial():
#格式化打印
def printPoly(self, array, variable = 'x'):
len_ = len(array);
poly = [];
for i in range(len_):
if (i < len_ -1):
s = '('+str(array[i])+')*'+variable+'^['+str(len_-1-i)+']';
else:
s = '('+str(array[i])+')';
poly.append(s);
s = '';
for i in range(len_):
s += poly[i];
if (i < len_ - 1):
s += '+';
print(s); #格式：(1)*x^[3]+(2)*x^[2]+(-3)*x^[1]+(4)
return poly;
#解不等式
def inequality(self, array, symbol = '<'):
#方程的根
roots = np.roots(array);
roots = sorted(roots);
#print(roots);
len_ = len(roots);
p = np.poly1d(array);
#符合要求的区间
section = [];
if (symbol == '<'):
if (p(roots[0]-1) < 0):
section.append(['-inf', roots[0]]);
if (p(roots[len_-1]+1))< 0:
section.append([roots[len_-1], 'inf']);
elif (symbol == '>'):
if (p(roots[0]-1)) > 0:
section.append(['-inf', roots[0]]);
if (p(roots[len_-1]+1)) > 0:
section.append([roots[len_-1], 'inf']);
for i in range(len_-1):
mid = (roots[i]+roots[i+1])/2;
if (symbol == '<'):
if p(mid) < 0:
section.append([roots[i], roots[i+1]]);
elif (symbol == '>'):
if p(mid) > 0:
section.append([roots[i], roots[i+1]]);
return section;
#计算代数式的值
#代数式具有[(coef)*expr^[exp], ...]这种形式
#要加载自制的alg模块
def algValue(self, stralg, valueTable):
#多项式的项数
len_s = len(stralg);
#参数对照表的项数
#参数对照表具有[['x', '1'], ['y', '3']]这样的形式
len_v = len(valueTable);
for i in range(len_s):
s = stralg[i];
for j in range(len_v):
s = s.replace(valueTable[j][0], str(valueTable[j][1]));
s = s.replace('^[', '**(');
s = s.replace(']', ')');
stralg[i] = eval(s);
return stralg;
</span>本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。
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