矩阵运算

最新推荐文章于 2025-10-13 11:54:08 发布

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本文深入讲解了矩阵的基本表示，包括矩阵的加法、乘法、转置、trace运算、判别式、逆运算及Hadamard Product等核心概念。通过详细公式解析，帮助读者掌握矩阵运算的关键技巧。

1. 矩阵表示

$m×nm\times n$ 矩阵 $A$ 可表示为，其中每个元素 $a_{ij}$ 为scalar：
$A=[a11a12...a1na21a22...a2n............am1am2...amn]A=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12} & ... & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22} & ... & a_{2n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{m1}& a_{m2} & ... & a_{mn} \end{bmatrix}$

2. 矩阵的加法和乘法

若A和B均为矩阵，则有：
$A+B=(a_{ij}+b_{ij})$

scalar $α\alpha$ 与矩阵A乘法：
$αA=Aα=(αaij).\alpha A=A\alpha=(\alpha a_{ij}).$

矩阵A为 $\times p$ 和B为 $\times n$ 的乘积C为 $\times n$ ：
$C = A B$
$cij=(A)i.(B).j=∑k=1paikbkj.c_{ij}=(A)i.(B).j=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}.$

满足以下关系：
在这里插入图片描述

3. 矩阵的转置

矩阵A的转置为：
$A′=[a11a21...an1a12a22...an2............a1ma2m...anm]A'=\begin{bmatrix} a_{11}& a_{21} & ... & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22} & ... & a_{n2}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{1m}& a_{2m} & ... & a_{nm} \end{bmatrix}$

转置运算具有以下特点：
在这里插入图片描述

4. trace运算

trace通常仅对方形矩阵而言。
$tr(A)=∑i=1maiitr(A)=\sum_{i=1}^{m}a_{ii}$

trace运算有如下特点：
在这里插入图片描述

5. 矩阵判别式

若A为 $\times m$ 矩阵，其判别式表示为：
$∣A∣=∑(−1)f(i1,...,im)a1i1a2i2...amim=∑(−1)f(i1,...,im)ai11ai22...aimm|A|=\sum(-1)^{f(i_1,...,i_m)}a_{1i_1}a_{2i_2}...a_{mi_m}=\sum(-1)^{f(i_1,...,i_m)}a_{i_11}a_{i_22}...a_{i_mm}$

具体的，当 $m = 1$ 时， $A|=a_{11}$
当 $m = 2$ 时， $A|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$
当 $m = 3$ 时， $A|=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31}$ .

判别式运算具有以下特征：
在这里插入图片描述

6. 矩阵逆运算

当矩阵A为 $m×mm\times m$ 的判别式 $∣ A ∣! = 0$ 时，存在对应的逆矩阵 $A^{-1}$ ，使得：
$AA^{-1}=A^{-1}A=I_m$
其中 $I_m$ 为单位矩阵。

逆运算具有如下特征：
在这里插入图片描述

7. Hadamard Product

若矩阵A和B均为 $m×nm\times n$ ，则有：
$A⊙B=[a11b11a12b12...a1nb1na21b21a22b22...a2nb2n............am1bm1am2bm2...amnbmn]A\odot B=\begin{bmatrix} a_{11}b_{11}& a_{12}b_{12} & ... & a_{1n}b_{1n}\\ a_{21}b_{21}& a_{22}b_{22} & ... & a_{2n}b_{2n}\\ ...& ... & ... & ...\\ a_{m1}b_{m1}& a_{m2}b_{m2} & ... & a_{mn}b_{mn} \end{bmatrix}$