算法的时间复杂度

度量一个程序(算法)执行时间的两种方法

1)事后统计的方法
这种方法可行, 但是有两个问题：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法速度更快。

2)事前估算的方法
通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

 

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

 

时间复杂度

1)一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=Ｏ( f(n) )，称Ｏ( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

2)T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

3)计算时间复杂度的方法：

• 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数  T(n)=n²+7n+6  => T(n)= n²+7n+1

• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  T(n)= n²+7n+1 => T(n) = n²

• 去除最高阶项的系 数 T(n) = n² => T(n) = n² => O( n² )

常见的时间复杂度

1) 常 数阶 O(1 )

2) 对 数阶 O( log 2 n )

3) 线 性阶 O(n )

4) 线 性对数阶 O(n log 2 n )

5) 平 方阶 O(n^2)

6) 立 方阶 O(n^3)

7) k 次方阶 O( n^k )

8) 指 数阶 O(2^n )

 

说明：

• 常见的算法时间复杂度由小到大依次为： Ο(1) ＜ Ο( log 2 n ) ＜ Ο( n) ＜ Ο( nlog 2 n ) ＜ Ο( n 2 ) ＜ Ο( n 3 ) ＜ Ο( n k ) ＜ Ο( 2 n ) ，随 着问题规模 n 的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越 低

• 从图中可见，我们应该尽可 能 避 免使用 指数阶的算法

 

常见的时间复杂度

1)常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

 

int i = 1;
int j = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

2)对数阶O(log2n)

int i = 1;
while(i<n) {

   i = i * 2;

}

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)  。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) .

3)线性阶O(n)

for(int i = 1; i <= n; i++){

	j = i;
	j++;

}

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

常见的时间复杂度

4)线性对数阶O(nlogN)

for(int m = 1; m < n; m++) {

	i = 1;
	while(i < n) {

		i = i * 2;	

	}	

}

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5)平方阶O(n²)

for(int i = 1; i <= n; i++) {

	for(int j = 1; j <= n; j++) {
		j = i;
		j++;
	}

}

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)

6)立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1) 平 均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间 。

2) 最 坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长 。

3) 平均 时间 复杂度和 最 坏时间复杂度 是 否一致，和算法有关 ( 如图 :) 。

 

l 算法的 空间 复杂度 简介

 

基本介绍

1) 类 似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度 (Space Complexity) 定 义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模 n 的函数 。

2) 空间复杂度 (Space Complexity) 是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。有 的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模 n 有关，它随着 n 的增大而增大，当 n 较大时，将占用较多的存储单元，例 如快 速排序和归并排序算法就属于这种情 况

3) 在做算法分析时， 主要讨论的是时间复杂度 。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品 ( redis , memcache ) 和算法 ( 基数排序 ) 本质就是用空间换时间 .