01背包问题存在最优子结构的证明

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#dynamic programming

本文探讨01背包问题的最优子结构性质，通过解释性质(1)和(2)来展示其直观意义。作者指出，子问题的规模可以表示为放置i个物品，并从最优子结构出发推导出状态转移方程。文章还分析了背包问题的伪代码，解释了两个循环的作用，强调最优解与物品选择顺序无关。

表述：如果  是问题  的最优解，那么

(1) 对于任意   , 有 , 则有  是问题 的最优解；

(2) 对于任意  ，有 ，则有 

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动态规划 | 0-1背包问题
hcz666的博客
06-15 588
1、问题分析 有 n 个物品和购物车的容量，每个物品重量为 w[i]，价值为 v[i]，购物车的容量为 W。选若干个物品放入购物车，让其价值达到最大，可表示如下： 问题归结为求解满足约束条件，使目标函数达到最大值的解向量 X = {x1,x2,…,xn}。 首先分析该问题是否具有最优子结构性质。 （1）分析最优解的结构特征 假设已经直到 X = {x1,x2,…,xn} 是原问题 {a1,a2,…,an} 的最优解，那么原问题去掉第一个物品就变成了子问题 {a2,a3…,an}，如图4-89所示。
最优子结构性质 贪心算法详解
05-07
贪心算法通过一系列的选择来得到一个问题的解。它所作的每一个选择都是当前状态下某种意义的最好选择，即贪心选择。希望通过每次所作的贪心选择导致最终结果是问题的一个最优解。这种启发式的策略并不总能奏效，然而在许多情况下确能达到预期的目的。解活动安排问题的贪心算法就是一个例子。下面我们着重讨论可以用贪心算法求解的问题的一般特征。
0022算法笔记——【贪心算法】背包问题,最优装载问题
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1、背包问题      (1)0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?      注：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。       0-1背包问题可用动态规划算法来求解，具体过程可参看笔者博文
C#实现动态规划求解最长公共子序列（LCS）算法详解
最新发布
weixin_42576410的博客
11-13 925
想象一下，你在维护一个项目，同事提交了一段新代码。你想知道他到底改了啥，Git是怎么做到精准标注出哪行删了、哪行加了的？答案就是：它本质上是在求两个文本之间的最长公共子序列。✅ 定义时间到！给定两个字符串 $ X = \text{“ABCBDAB”} $ 和 $ Y = \text{“BDCAB”} $，它们的公共子序列是指：既能按顺序出现在X中，也能按顺序出现在Y中的字符序列。注意！不要求连续，只要顺序不变就行。比如："B"是公共的"BCB"是公共的吗。
动态规划DP——01背包问题
qq_30091249的博客
10-26 4912
01 背包问题   今天在算法课上讲解了动态规划算法，其中讲到了01背包问题。这是一种典型的动态规划问题，于是下课之后我使用java进行了相对应的代码实现。动态规划求解具有以下的性质： 1.最优子结构性质：最优解包含了其子问题的最优解，不是合并所有子问题的解，而是找最优的一条解线路，选择部分子最优解来达到最终的最优解。 2.子问题重叠性质：先计算子问题的解，再由子问题的解去构造问题的解（由于子问题...
动态规划 0-1背包问题最优子结构的证明（包你看懂！！！）
乌小笑的博客
06-23 1万+
背景 刚刚考完《数据结构与算法分析》这门课的期末考试，其中有一道证明题——0-1背包问题最优子结构的证明。因为当时上课的时候便比较“懵懂”，复习时候也没有认真看（个人对于ppt的证明过程抱有疑惑，现在回过头来看只是省略了一些介绍而已……太过于遗憾），果然拉垮了。但是本着至少要做到考后100分的能力，便百度搜了搜，结果发现很少有人能够简单明了地证明这个正确性，自己思考了一番，有了自己的答案。 证明过程 0-1背包问题： 给定n中物品和一个背包，物品i的重量是wi,其价值为vi,背包的容量为C。如何选择装入背包
算法导论-01背包最优子结构与分数背包贪心选择性质证明
lkq_primer的博客
09-09 2632
按照自己的理解写的
01背包问题动态规划最优子结构证明
01-08
### 关于01背包问题中动态规划最优子结构的证明 #### 定义与假设 考虑一个有n件物品和容量为c的背包。对于第i个物品，其重量表示为wi, 价值表示为vi (1 ≤ i ≤ n)[^2]。 为了简化讨论，设f(i,c)代表前i项物品放入...
最优子结构性质一般如何证明，请证明0-1背包问题具有最优子结构性质
06-03
对于0-1背包问题，我们可以采用归纳法证明其具有最优子结构性质。 假设我们已经求出了一个容量为j的背包，能够容纳最大价值的物品组合，记为V[j]。现在我们考虑将容量为j的背包分成两个子问题： 1.不放第i个物品，...
【计算机算法设计与分析】最优子结构和贪心选择性质的证明
ccql's Blog
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最优子结构性质（反证法） 计算某问题的最优解包含的计算该问题的子问题也是最优解。事实上，如果找到子问题的更优解，则可以替换当前子问题的解，得到一个比最优解更优的解，这是一个矛盾。 贪心选择性质（数学归纳法） 先设一个最优解A⊆EA\subseteq EA⊆E(EEE为所给定的总元素集合，且AAA和EEE均按照某种有利于算法贪心进行的顺序进行排序)，并且设kkk为最优解的第一个元素(即k=min1≤i≤n{i∣xi=1}k=min_{1\leq{i}\leq{n}}\{i|x_i=1\}k=min1≤i
算法分析-动态规划-01背包
weixin_34344677的博客
10-16 190
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动态规划：01背包
FD1247的博客
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问题描述01背包是一个可以用动态规划解决的经典问题：给定nn种物品和一背包。物品ii的重量是wiw_i ,其价值为viv_i，背包的容量为cc。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包的物品的总价值最大？ 在选择装入背包的物品时，对每种物品ii只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品ii装入背包多次，也不能只装入部分的物品ii。因此，称为01背包问题。形式化描述给定c>0,wi>0,vi
0-1背包问题
m0_48917553的博客
07-13 2690
0-1背包问题 概述 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 规定：只有两种选择，装入为1，不装为0，因此称为0-1背包问题。注：不能装入多次，也不能只装入部分。 最优子结构性质 重叠子问题性质 算法思路 实例 代码实现 设n个物品的重量存储在数组w[n]中，价值存储在数组v[n]中，背包容量为C，数组V[n+1][C+1]存放迭代结果，其中V[i][j]表示前i个物品装入容量为j的背包中获得
哈夫曼问题的贪心选择性质和最优子结构性质证明
qq_35557801的博客
04-15 9428
1. 试证明哈夫曼问题具有贪心选择性质： 二叉树T表示字符集C的一个最优前缀码，证明可以对T作适当修改后得到一棵新的二叉树T”，在T”中x和y是最深叶子且为兄弟，同时T”表示的前缀码也是C的最优前缀码。设b和c是二叉树T的最深叶子，且为兄弟。设f(b)<=f(c)，f(x)<=f(y)。由于x和y是C中具有最小频率的两个字符，有f(x)<=f(b)，f(y)<=f(c)...
动态规划（0-1背包问题）
yuanyuan320的博客
11-09 2315
文章目录1.问题给定的已知：2.所求目标：3.数学模型：4.最优子结构分析：5.建立最优值的递归关系式：6.自底向上求解：1）数据结构：2）程序代码：3）测试数据：4）结果分析：7.根据相关信息构造最优解：1）程序代码：2）测试数据及结果：3）结果分析：8.总结： 1.问题给定的已知： 有编号分别为1,2,3,4,5的物件物品，他们的重量分别是2，2,6,5,4，他们的价值分别是6,3,5,4,6，先给一格承重为10的背包。 2.所求目标： 如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和 3.数学模型： ①建立模
01背包问题
Infor_learning的博客
09-01 506
题目 :N件物品放入容量大小为W的背包里，N件物品的重量分别为w1,w2...wn, 各自的价值分别为v1,v2...vn。每件物品有且仅有一件，要么放入背包，要么不放入。求在背包容量范围内，使放入的物品价值总和最大的解法。 动态规划的应用场景 　　适用动态规划的问题必须满足最优化原理、无后效性和重叠性。 　　a.最优化原理（最优子结构性质）最优化原理可这样阐述：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。简而言之，一个最...
一文搞定0-1背包问题所有知识点
xstarP的博客
01-23 739
这篇文章为你提供什么？ 我会从零开始推导0-1背包问题，包括0-1背包的子问题划分、最优子结构的证明、状态转移方程、优化空间复杂度以及0-1背包模板。总之0-1背包的一切都在这了。 0-1背包问题描述 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是 Wi，其价值为 Vi，背包的容量为 C，问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？在选择装入背包的物品时，对每种物品 i 只有两种选择，即装...
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生无涯的一亩三分地
04-03 4371
动态规划实现 01背包问题
0-1背包问题最优子结构及其证明
weixin_33699914的博客
10-06 3362
在网上搜了半天没有找到合适的证明，因此自己证明了下。不对的地方请各位多多赐教。 最优子结构： 设Z={z1,z2,…,zk}是Knap(1,k,MaxWeight)的最优解，且此时的价值是fk(MaxWeight) 1) 如果zk=1，那么fk-1(MaxWeight - wk) + vk > fk-1(MaxWeight)，而且{z1,z2,…,zk-1}是Knap...
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