超级会员免费看
薄板弯曲与平面弹性问题的类比及多变量变分原理
1. 薄板边界条件
1.1 等效分布剪力与集中力
等效分布剪力 $F_{Vy}$ 的正方向与 $F_{Sy}$ 一致。在边 $AB$ 的端点 $A$ 和 $B$ 处存在两个集中力 $(M_{xy}) A$ 和 $(M {xy}) B$。由于相邻边也有集中力，每个角点会有一个合成集中力，例如点 $B$ 处为 $2(M {xy})_B$。
1.2 不同边界类型的条件
薄板在 $y = b$ 处有不同的边界条件：
-
固定边
：挠度和转角必须为零，即
- $(w)
{y=b} = 0$
- $\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)
{y=b} = 0$
-
简支边
：挠度和弯矩必须为零，即
- $(w)
{y=b} = 0$
- $(M_y)
{y=b} = 0$
-
自由边
：弯矩和总等效剪力必须为零，即
- $(M_y)
{y=b} = 0$
- $(F
{Vy})
{y=b} = 0$
-
相邻自由边
：如果相邻两边均为自由边，还需考虑角点条件。若点 $B$ 是两个无支撑相邻自由边的角点，则 $2(M
{xy})_B = 0$；若点 $B$ 有支撑，则 $(w)_B = 0$。
2. 平面弹性与薄板弯曲的类比
2.1 基本方程与经典解法
薄板弯曲的基本方程是 19 世纪由拉格朗日和热尔曼建立的双调和方程。经典的半逆解法，如纳维叶法和利维法，虽然对具有两个对边简支的各向同性板非常有效，但难以应用于具有复杂边界条件的情况，特别是各向异性板的弯曲问题。
平面弹性问题的经典解法采用了满足双调和方程的艾里应力函数。由于基本方程相同，平面弹性问题和薄板弯曲问题必然相似，这一事实已被许多研究人员注意到。
2.2 类比关系的建立
考虑薄板弯曲的齐次方程 $\nabla^2\nabla^2w = 0$，平面弹性的艾里应力函数 $\phi_f$ 也满足双调和方程 $\nabla^2\nabla^2\phi_f = 0$。利用这种相似性，可以建立两种问题之间的类比关系，如下表所示：
| 平面弹性 | 薄板弯曲 |
| — | — |
| 艾里应力函数 $\phi_f$ | 横向挠度 $w(x, y)$ |
| 面内位移向量 $u = {u, v}^T$ | 弯矩函数向量 $\varphi = {\varphi_x, \varphi_y}^T$ |
| 应变 $\varepsilon = {\varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy}}^T$ | 弯矩 $m = {M_y, M_x, 2M_{xy}}^T$ |
| 应力 $\sigma = {\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}}^T$ | 曲率 $\kappa = {\kappa_y, \kappa_x, \kappa_{xy}}^T$ |
| 应变 - 位移关系 $\varepsilon = \hat{E}(\nabla)u$ | 弯矩与弯矩函数关系 $m = \hat{E}(\nabla)\varphi$ |
| 应力函数与应力关系 $\sigma = K(\partial)\phi_f$ | 挠度 - 曲率关系 $\kappa = K(\partial)w$ |
| 应变 - 应力关系 $\varepsilon = C^{-1}\sigma$ | 弯矩 - 曲率关系 $m = C\kappa$ |
| 刚体位移 | 零弯矩函数 |
| 指定力的边界条件 $\Gamma_{\sigma}$：$\sigma_x\cos\alpha + \tau_{xy}\sin\alpha = 0$，$\tau_{xy}\cos\alpha + \sigma_y\sin\alpha = 0$ | 指定位移的边界条件 $\Gamma_{u}$：$\kappa_y\cos\alpha + \kappa_{xy}\sin\alpha = 0$，$\kappa_{xy}\cos\alpha + \kappa_x\sin\alpha = 0$ |
| 指定位移的边界条件 $\Gamma_{u}$：$u = \bar{u}$，$v = \bar{v}$ | 指定力的边界条件 $\Gamma_{\sigma}$：$\varphi_s = \bar{\varphi}
s$，$\varphi_n = \bar{\varphi}_n$ |
| 最小势能原理 | 最小余能原理 |
| H - R 变分原理：$u, v$；$\sigma_x, \sigma_y, \tau
{xy}$；无 $\phi_f$ | Pro - H - R 变分原理：$\varphi_x, \varphi_y$；$\kappa_y, \kappa_x, \kappa_{xy}$；无 $w$ |
| 胡 - 鹫津变分原理：$u, v$；$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$；$\varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy}$；无 $\phi_f$ | Pro - 胡 - 鹫津变分原理：$\varphi_x, \varphi_y$；$\kappa_y, \kappa_x, \kappa_{xy}$；$M_y, M_x, 2M_{xy}$；无 $w$ |
2.3 弯矩函数的性质
- 零弯矩函数 ：函数 $\varphi_x = a_0 - a_2y$，$\varphi_y = a_1 + a_2x$（其中 $a_0, a_1, a_2$ 为任意常数）不会产生任何弯矩，这些函数称为零弯矩函数。
- 坐标旋转下的变换 ：在坐标系旋转角度 $\alpha$ 时，弯矩和弯矩函数的变换规则如下：
-
弯矩变换：
- $M_x’ = M_x\cos^2\alpha + M_y\sin^2\alpha - 2M_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$
- $M_y’ = M_x\sin^2\alpha + M_y\cos^2\alpha + 2M_{xy}\sin\alpha\cos\alpha$
- $M_{xy}’ = M_{xy}(\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) + (M_x - M_y)\sin\alpha\cos\alpha$
-
弯矩函数变换：
- $\varphi_x’ = \varphi_x\cos\alpha + \varphi_y\sin\alpha$
- $\varphi_y’ = -\varphi_x\sin\alpha + \varphi_y\cos\alpha$
2.4 边界条件的类比
在边界条件方面，薄板弯曲和平面弹性也存在对应关系。例如，在指定力的边界 $\Gamma_{\sigma}$ 上，薄板弯曲的边界条件可以用弯矩函数表示，与平面弹性中指定位移的边界条件类似。而在指定位移的边界 $\Gamma_{u}$ 上，薄板弯曲的边界条件与平面弹性中指定力的边界条件类似。
2.5 变分原理的推导
基于类比关系，可以推导出薄板弯曲的最小余能原理、Pro - H - R 变分原理和 Pro - 胡 - 鹫津变分原理。这些变分原理与平面弹性的相应原理类似，但在薄板弯曲的变分原理中，挠度 $w$ 不直接出现，可以在获得曲率 $\kappa$ 后求解。
2.6 类比在有限元分析中的应用
平面弹性与薄板弯曲的类比理论在有限元分析中有重要应用。由于平面弹性的有限元方法比薄板弯曲的有限元方法更为成熟，根据上述类比原理，薄板弯曲单元的推导可以参考平面弹性单元的类似方法和表达式。类比原理证明了对于每个平面协调单元，都存在一个对应的平衡薄板单元，反之亦然。
3. 多变量变分原理
3.1 经典变分原理概述
变分原理在弹性力学中是一个基本问题，具有重要的理论和实际应用价值。经典的变分原理包括：
- 单变量的最小势能原理和最小余能原理；
- 双变量的赫林格 - 赖斯纳变分原理；
- 三变量的胡 - 鹫津变分原理。
3.2 薄板弯曲的多变量变分原理
对于存在残余变形的薄板弯曲问题，在区域内有五种基本方程：
1.
平衡方程
：$\hat{K}(\partial)m_a = \hat{K}(\partial)m_{0a} = q$，其中 $m_{0a} = {M_{0ay}, M_{0ax}, 2M_{0axy}}^T$ 是由外部载荷 $q$ 产生的非齐次弯矩向量的特解，$m_a$ 是通解。
2.
弯矩函数与弯矩的关系
：$m = m_a + \hat{E}(\nabla)\varphi$
3.
曲率 - 挠度关系
：$\kappa = \kappa_0 + K(\partial)w - \frac{\partial v_c(m_a - m_{0a})}{\partial m_a}$，其中 $\kappa_0$ 是由已知量因素（如温差等）引起的残余变形。
4.
协调方程
：$E(\nabla)(\kappa - \kappa_0) = 0$
5.
曲率 - 弯矩关系
：$\kappa = \frac{\partial v_c(m)}{\partial m}$
3.3 边界条件的推导
薄板边界可以是任意光滑无角点的曲线。设边界曲线的正法线为 $n$，切线方向为 $s$，$(n, s)$ 构成右手系。通过一系列推导，可以得到边界上的各种物理量的表达式，如边界上的弯矩、剪力、曲率等。根据这些表达式，可以得到不同类型边界的条件：
-
位移边界 $\Gamma_{u}$
：挠度和转角指定，即 $w = \bar{w}$ 和 $\theta_n = \frac{\partial w}{\partial n} = \bar{\theta}
n$。
-
力边界 $\Gamma_{\sigma}$
：弯矩和总分布剪力指定，即 $M_n = M
{an} + \frac{\partial \varphi_s}{\partial s} + \frac{\varphi_n}{\rho} = \bar{M}
n$ 和 $F
{Vn} = F_{Van} - \frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\partial \varphi_n}{\partial s} - \frac{\varphi_s}{\rho}\right) = \bar{F}
{Vn}$。
-
简支边界 $\Gamma_{s}$
：挠度和弯矩指定，即 $w = \bar{w}$ 和 $M_n = M
{an} + \frac{\partial \varphi_s}{\partial s} + \frac{\varphi_n}{\rho} = \bar{M}_n$。
3.4 多变量变分原理的建立
最终得到具有五个独立变量 $w, \kappa, m_a, \varphi, m$ 的多变量变分原理 $\delta\Pi_m = 0$，其中泛函为：
[
\begin{align
}
\Pi_m &= \iint_{\Omega} {m_a^T K(\partial)w + \kappa^T m - v_c(m) - v_c(m_a - m_{0a}) - (\kappa - \kappa_0)^T[m_a + \hat{E}(\nabla)\varphi] - qw}dxdy \
&+ \int_{\Gamma_u} \left[(w - \bar{w})F_{Van} - (\theta_n - \bar{\theta}
n)M
{an} + \varphi_n\left(\frac{\partial^2 w}{\partial s^2} + \frac{\theta_n}{\rho}\right) - \varphi_s\left(\frac{\partial \theta_n}{\partial s} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial w}{\partial s}\right)\right] ds \
&+ \int_{\Gamma_{\sigma}} \left[w\bar{F}
{Vn} - \theta_n\bar{M}_n + \varphi_n\left(\frac{\partial^2 w}{\partial s^2} + \frac{\theta_n}{\rho}\right) - \varphi_s\left(\frac{\partial \theta_n}{\partial s} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial w}{\partial s}\right)\right] ds \
&+ \int
{\Gamma_s} \left[(w - \bar{w})F_{Van} - \theta_n\bar{M}_n + \varphi_n\left(\frac{\partial^2 w}{\partial s^2} + \frac{\theta_n}{\rho}\right) - \varphi_s\left(\frac{\partial \theta_n}{\partial s} - \frac{1}{\rho}\frac{\partial w}{\partial s}\right)\right] ds
\end{align
}
]
对泛函 $\Pi_m$ 进行变分，可以得到区域内的五种基本方程和边界条件。通过一系列的推导和整理，可以验证这些方程和条件与前面所述的边界条件一致。
3.5 边界条件的验证
在变分过程中产生的边界项经过整理和关联，可以得到不同边界类型的具体条件，并且可以验证这些条件与经典板理论中的边界条件一致。同时，边界条件中的一些项在边界的交点处相互抵消，不会产生新的条件。
3.6 总结
平面弹性与薄板弯曲之间存在着深刻的类比关系，通过这种类比可以建立相应的变分原理和边界条件。薄板弯曲的多变量变分原理包含了弹性力学中的五种基本方程，是目前最广义的变分原理。这种类比和变分原理在有限元分析等领域具有重要的应用价值，可以为薄板弯曲问题的求解提供新的思路和方法。
mermaid 格式流程图：
graph LR
A[薄板弯曲问题] --> B[基本方程]
B --> C[平衡方程]
B --> D[弯矩函数与弯矩关系]
B --> E[曲率 - 挠度关系]
B --> F[协调方程]
B --> G[曲率 - 弯矩关系]
A --> H[边界条件]
H --> I[位移边界]
H --> J[力边界]
H --> K[简支边界]
A --> L[变分原理]
L --> M[最小余能原理]
L --> N[Pro - H - R 变分原理]
L --> O[Pro - 胡 - 鹫津变分原理]
L --> P[多变量变分原理]
P --> Q[区域内基本方程]
P --> R[边界条件]
这个流程图展示了薄板弯曲问题的主要组成部分，包括基本方程、边界条件和变分原理，以及它们之间的关系。多变量变分原理可以推导出区域内的基本方程和边界条件。
4. 多变量变分原理的深入分析
4.1 基本方程的物理意义
- 平衡方程 ：$\hat{K}(\partial)m_a = \hat{K}(\partial)m_{0a} = q$ 描述了薄板在外部载荷 $q$ 作用下的力学平衡状态。特解 $m_{0a}$ 是由外部载荷直接产生的弯矩，而通解 $m_a$ 则包含了薄板自身的力学响应。
- 弯矩函数与弯矩的关系 ：$m = m_a + \hat{E}(\nabla)\varphi$ 表明弯矩 $m$ 由两部分组成，一部分是外部载荷引起的 $m_a$，另一部分是由弯矩函数 $\varphi$ 产生的。
- 曲率 - 挠度关系 ：$\kappa = \kappa_0 + K(\partial)w - \frac{\partial v_c(m_a - m_{0a})}{\partial m_a}$ 考虑了残余变形 $\kappa_0$、挠度 $w$ 以及外部载荷对曲率的影响。
- 协调方程 ：$E(\nabla)(\kappa - \kappa_0) = 0$ 保证了薄板的变形是协调的，即不会出现不连续或不合理的变形。
- 曲率 - 弯矩关系 ：$\kappa = \frac{\partial v_c(m)}{\partial m}$ 建立了曲率和弯矩之间的本构关系。
4.2 边界条件的物理意义
- 位移边界 $\Gamma_{u}$ ：$w = \bar{w}$ 和 $\theta_n = \frac{\partial w}{\partial n} = \bar{\theta}_n$ 表示在该边界上，薄板的挠度和转角是指定的，这通常对应于薄板与其他结构的连接或支撑情况。
- 力边界 $\Gamma_{\sigma}$ ：$M_n = M_{an} + \frac{\partial \varphi_s}{\partial s} + \frac{\varphi_n}{\rho} = \bar{M} n$ 和 $F {Vn} = F_{Van} - \frac{\partial}{\partial s}\left(\frac{\partial \varphi_n}{\partial s} - \frac{\varphi_s}{\rho}\right) = \bar{F}_{Vn}$ 表示在该边界上，薄板的弯矩和总分布剪力是指定的，这对应于外部力的作用。
- 简支边界 $\Gamma_{s}$ ：$w = \bar{w}$ 和 $M_n = M_{an} + \frac{\partial \varphi_s}{\partial s} + \frac{\varphi_n}{\rho} = \bar{M}_n$ 表示在该边界上，薄板的挠度和弯矩是指定的，通常用于模拟薄板的简单支撑情况。
4.3 多变量变分原理的优势
多变量变分原理包含了弹性力学中的五种基本方程，能够全面地描述薄板弯曲问题。与经典的变分原理相比，它考虑了更多的因素，如残余变形和弯矩函数，因此可以更准确地求解复杂边界条件下的薄板弯曲问题。
4.4 变分原理的求解步骤
- 确定泛函 $\Pi_m$ ：根据问题的具体情况，确定泛函 $\Pi_m$ 的表达式，包括区域积分和边界积分。
- 进行变分运算 ：对泛函 $\Pi_m$ 进行变分，得到变分方程 $\delta\Pi_m = 0$。
- 求解变分方程 ：通过求解变分方程，得到区域内的基本方程和边界条件。
- 验证边界条件 ：将求解得到的边界条件与经典板理论中的边界条件进行验证，确保结果的正确性。
5. 类比关系在实际问题中的应用
5.1 有限元分析中的应用步骤
- 选择平面弹性单元 ：根据薄板弯曲问题的特点，选择合适的平面弹性单元。
- 建立类比关系 ：根据平面弹性与薄板弯曲的类比关系，将平面弹性单元的相关参数和表达式转换为薄板弯曲单元的参数和表达式。
- 生成薄板弯曲单元 ：利用转换后的参数和表达式，生成薄板弯曲单元。
- 进行有限元分析 ：使用生成的薄板弯曲单元进行有限元分析，求解薄板弯曲问题。
5.2 实际案例分析
假设我们需要分析一个具有复杂边界条件的薄板弯曲问题。传统的方法可能难以求解，但通过类比关系，我们可以参考平面弹性问题的解法。
- 首先，我们可以将薄板弯曲问题转化为平面弹性问题，利用平面弹性的有限元方法进行初步分析。
- 然后，根据类比关系，将平面弹性问题的解转换为薄板弯曲问题的解。
- 最后，对得到的解进行验证和优化，确保结果的准确性。
5.3 表格对比
| 传统方法 | 基于类比关系的方法 |
|---|---|
| 难以处理复杂边界条件 | 可参考平面弹性解法处理复杂边界 |
| 求解过程复杂 | 利用已有平面弹性成果简化求解 |
| 准确性可能受影响 | 考虑更多因素提高准确性 |
6. 总结与展望
6.1 总结
- 平面弹性与薄板弯曲之间存在着密切的类比关系，通过这种类比可以建立相应的变分原理和边界条件。
- 薄板弯曲的多变量变分原理包含了弹性力学中的五种基本方程，是目前最广义的变分原理。
- 这种类比和变分原理在有限元分析等领域具有重要的应用价值，可以为薄板弯曲问题的求解提供新的思路和方法。
6.2 展望
- 未来可以进一步研究如何利用这种类比关系，开发更加高效和准确的数值计算方法。
- 可以将这种类比关系应用到更多的工程领域，如航空航天、机械制造等，解决更多的实际问题。
- 可以深入研究多变量变分原理的数学性质，为其在理论和实践中的应用提供更坚实的基础。
mermaid 格式流程图：
graph LR
A[实际薄板弯曲问题] --> B[选择平面弹性单元]
B --> C[建立类比关系]
C --> D[生成薄板弯曲单元]
D --> E[进行有限元分析]
E --> F[得到薄板弯曲问题解]
F --> G[验证和优化结果]
这个流程图展示了利用类比关系进行薄板弯曲问题有限元分析的步骤，从选择平面弹性单元开始，经过一系列转换和分析，最终得到薄板弯曲问题的解并进行验证和优化。
扫一扫
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
