6、基于分数阶微积分的滑模控制与非线性PID控制器调优软件

基于分数阶微积分的滑模控制与非线性PID控制器调优软件

1. 滑模控制理论基础

在非线性过程的控制中，基于分数阶微积分的滑模控制是一种有效的理论方法。其核心公式如下：
[
U_{\alpha,\beta}^{eq}(t) = \frac{\tau}{t_0K}
\left[
D_{0+}^{\alpha+\beta}R(t) + \lambda_1D_{0+}^{\alpha}R(t) + \lambda_2D_{0+}^{\beta}R(t) + \lambda_0R(t)+
\frac{1}{t_0 - \lambda_1}D_{0+}^{\alpha}X(t) +
\left(\frac{1}{\tau} - \lambda_2\right)D_{0+}^{\beta}X(t) +
\frac{1}{\tau t_0 - \lambda_0}X(t)
\right]
]

下面是其证明过程：
设 (e(t) = R(t) - X(t))，首先对函数 (e(t)) 应用算子 (20)，根据分数算子的线性性质可得：
[
\frac{d}{dt}S_{\alpha,\beta}e(t) = \frac{d}{dt}S_{\alpha,\beta}R(t) - \frac{d}{dt}S_{\alpha,\beta}X(t)
]
当 (\frac{d}{dt}S_{\alpha,\beta}e(t) = 0) 时，有：
[
D_{0+}^{\alpha+\beta}R(t) + \lambda_1D_{0+}^{\alpha}R(t) + \la