16、自适应多变量自回归滑动平均模型识别与普朗克定律模拟

自适应多变量自回归滑动平均模型识别与普朗克定律模拟

1. 自适应多变量自回归滑动平均模型识别

在自适应多变量自回归滑动平均（MV ARMA）模型的研究中，有一个重要的方法——多模型粒子滤波（MMPF）。它涉及到一些关键的方程，例如：
存在一个零均值白过程，其协方差矩阵为：
$P_{\tilde{y}} (k|k - 1, \theta_j) = H(k, \theta_j)P(k|k, \theta_j)H^T(k, \theta_j) + R$（17.11）
对于方程（17.8）、（17.9）、（17.10）和（17.11），$j = 1, 2, \cdots, M$。

MMPF 有一个重要特性，即实现它所需的所有卡尔曼滤波器都能独立实现，这使得我们可以并行执行这些滤波器，从而节省大量的计算时间。

在样本空间自然离散的情况下，方程（17.7）和（17.8）适用。但在实际应用中，$\theta$ 的概率密度函数（pdf）是连续的，为了精确实现最优估计器，需要应用无限多个卡尔曼滤波器。通常克服这个困难的方法是用有限和来近似 $\theta$ 的 pdf，并且已经提出了许多离散化策略。

当真实参数值位于假定的样本空间之外时，自适应估计器会收敛到样本空间中更接近真实值（即最小化库尔贝克信息度量）的值，这意味着未知参数的值无法精确确定。不过，应用可变结构的 MMPF 能够克服这个困难。

为了评估该方法的性能，进行了几个模拟实验，每个实验都进行了 100 次蒙特卡罗运行。使用的模型基数 $M = 10$。以下是具体的实验例子：
- 例 1：ARMA (1, 1)，$\theta = (1, 1