（Caffe，LeNet）反向传播（六）

本文地址：http://blog.youkuaiyun.com/mounty_fsc/article/details/51379395

本部分剖析Caffe中Net::Backward()函数，即反向传播计算过程。从LeNet网络角度出发，且调试网络为训练网络，共9层网络。具体网络层信息见 （Caffe，LeNet）初始化训练网络（三） 第2部分

本部分不介绍反向传播算法的理论原理，以下介绍基于对反向传播算法有一定的了解。

1 入口信息

Net::Backward()函数中调用BackwardFromTo函数，从网络最后一层到网络第一层反向调用每个网络层的Backward。

void Net<Dtype>::BackwardFromTo(int start, int end) {
  for (int i = start; i >= end; --i) {
    if (layer_need_backward_[i]) {
      layers_[i]->Backward(
          top_vecs_[i], bottom_need_backward_[i], bottom_vecs_[i]);
      if (debug_info_) { BackwardDebugInfo(i); }
    }
  }
}

2 第九层SoftmaxWithLossLayer

2.1 代码分析

代码实现如下：

void SoftmaxWithLossLayer<Dtype>::Backward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
    const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {

    // bottom_diff shape:64*10
    Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_gpu_diff();
    // prob_data shape:64*10
    const Dtype* prob_data = prob_.gpu_data();
    // top_data shape:(1)
    const Dtype* top_data = top[0]->gpu_data();
    // 将Softmax层预测的结果prob复制到bottom_diff中
    caffe_gpu_memcpy(prob_.count() * sizeof(Dtype), prob_data, bottom_diff);
    // label shape:64*1
    const Dtype* label = bottom[1]->gpu_data();
    // dim = 640 / 64 = 10
    const int dim = prob_.count() / outer_num_;
    // nthreads = 64 / 1 = 64
    const int nthreads = outer_num_ * inner_num_;
    // Since this memory is never used for anything else,
    // we use to to avoid allocating new GPU memory.
    Dtype* counts = prob_.mutable_gpu_diff();

    // 该函数将bottom_diff（此时为每个类的预测概率）对应的正确类别（label）的概率值-1，其他数据没变。见公式推导。
    SoftmaxLossBackwardGPU<Dtype><<<CAFFE_GET_BLOCKS(nthreads),
        CAFFE_CUDA_NUM_THREADS>>>(nthreads, top_data, label, bottom_diff,
        outer_num_, dim, inner_num_, has_ignore_label_, ignore_label_, counts);
    // 代码展开开始,代码有修改
    __global__ void SoftmaxLossBackwardGPU(...) {
      CUDA_KERNEL_LOOP(index, nthreads) { 
        const int label_value = static_cast<int>(label[index]);
        bottom_diff[index * dim + label_value] -= 1;
        counts[index] = 1;        
      }
    }
    // 代码展开结束

    Dtype valid_count = -1;
    // 注意为loss的权值，对该权值（一般为1或者0）归一化（除以64）
    // Scale gradient
    const Dtype loss_weight = top[0]->cpu_diff()[0];
    if (normalize_) {
      caffe_scal(prob_.count(), loss_weight / count, bottom_diff);
    } else {
      caffe_scal(prob_.count(), loss_weight / outer_num_, bottom_diff);
    }

}

说明：
1. SoftmaxWithLossLayer是没有学习参数的（见前向计算（五）) ，因此不需要对该层的参数做调整，只需要计算bottom_diff（理解反向传播算法的链式求导，求bottom_diff对上一层的输出求导，是为了进一步计算调整上一层权值）
2. 以上代码核心部分在SoftmaxLossBackwardGPU。该函数将bottom_diff（此时为每个类的预测概率）对应的正确类别（label）的概率值-1，其他数据没变。这里使用前几节的符号系统及图片进行解释。

2.2 公式推导

1. 符号系统

   设SoftmaxWithLoss层的输入为向量$\mathbf{z}$，即bottom_blob_data，也就是上一层的输出。经过Softmax计算后的输出为向量$\mathbf{f(z)}$，公式为（省略了标准化常量m）$f(z_k)=\frac{e^{z_k}}{\sum_i^n{e^{z_i}}}$。最后SoftmaxWithLoss层的输出为$loss=\sum^n-\log{f(z_y)}$，$y$为样本的标签。见前向计算（五）。

2. 反向推导

   把loss展开可得
   

   $$loss=log\sum_i^n{e^{z_i}}-z_y$$
   所以$\frac{d loss}{d\mathbf{z}}$结果如下：
   
   $$\frac{\partial loss}{\partial z_i}= \left \{ \begin{aligned} & f(z_y)-1,z_i= z_y \\ & f(z_i),z_i \ne z_y \end{aligned} \right.$$

3. 图示
   

3 第八层InnerProduct

3.1 代码分析

template <typename Dtype>
void InnerProductLayer<Dtype>::Backward_gpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
    const vector<bool>& propagate_down,
    const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {
  //对参数求偏导，top_diff*bottom_data=blobs_diff
  // 注意，此处(Dtype)1., this->blobs_[0]->mutable_gpu_diff()
  // 中的(Dtype)1.：使得在一个solver的iteration中的多个iter_size
  // 的梯度没有清零，而得以累加
  if (this->param_propagate_down_[0]) {
    const Dtype* top_diff = top[0]->gpu_diff();
    const Dtype* bottom_data = bottom[0]->gpu_data();
    // Gradient with respect to weight
    caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasTrans, CblasNoTrans, N_, K_, M_, (Dtype)1.,
        top_diff, bottom_data, (Dtype)1., this->blobs_[0]->mutable_gpu_diff());
  }

  // 对偏置求偏导top_diff*bias=blobs_diff
  if (bias_term_ && this->param_propagate_down_[1]) {
    const Dtype* top_diff = top[0]->gpu_diff();
    // Gradient with respect to bias
    caffe_gpu_gemv<Dtype>(CblasTrans, M_, N_, (Dtype)1., top_diff,
        bias_multiplier_.gpu_data(), (Dtype)1.,
        this->blobs_[1]->mutable_gpu_diff());
  }

  //对上一层输出求偏导top_diff*blobs_data=bottom_diff
  if (propagate_down[0]) {
    const Dtype* top_diff = top[0]->gpu_diff();
    // Gradient with respect to bottom data
    caffe_gpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasNoTrans, M_, K_, N_, (Dtype)1.,
        top_diff, this->blobs_[0]->gpu_data(), (Dtype)0.,
        bottom[0]->mutable_gpu_diff());
  }
}

3.2 公式推导

如图，当前层ip2层的输入为$\mathbf{z}$，上一层的输入为$\mathbf{u}$。

1. 对上一层输出求偏导

$\frac{\partial loss}{\partial u_j}$存放在ip2层的bottom_blob_diff（64*500）中，计算公式如下，其中$\frac{\partial loss}{\partial z_k}$存放在top_blob_diff（64*10）中:

$$\frac{\partial z_k}{\partial u_j} = \frac{\sum_j^{100}{w_{kj}u_j}}{\partial u_j}=w_{kj}$$

$$\frac{\partial loss}{\partial u_j}=\sum_k^{n=10}{\frac{\partial loss}{\partial z_k}\frac{\partial z_k}{\partial u_j}}=\sum_k^{n=10}{\frac{\partial loss}{\partial z_k}w_{kj}}$$
写成向量的形式为：
$$\frac{\partial loss}{\partial u_j}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{z^T}} \cdot \mathbf{w_{j}}$$
进一步，写成矩阵的形式，其中 $\mathbf{u}$为500维， $\mathbf{z}$为10维， $\mathbf{W}$为 $10 \times 500$：
$$\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{u^T}}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{z^T}} \cdot \mathbf{W}$$
再进一步，考虑到一个batch有64个样本，表达式可以写成如下形式，其中 $\mathbf{U}$为 $64 \times 500$； $\mathbf{Z}$为 $64 \times 10$； $\mathbf{W}$为 $10 \times 500$：
$$\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{U}}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{Z}} \cdot \mathbf{W}$$

2. 对参数求偏导

$$\frac{\partial loss}{\partial w_{kj}}=\frac{\partial loss}{\partial z_k}\frac{\partial z_k}{\partial w_{kj}}=\frac{\partial loss}{\partial z_k} u_{j}$$
写成向量的形式有：
$$\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{w_{j}}}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{z}} u_{j}$$
进一步，可以写成矩阵形式，其中 $\mathbf{W}$为 $10 \times 500$； $\mathbf{z}$为10维； $\mathbf{u}$为500维。
$$\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{W}}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{z}} \mathbf{u^T}$$
再进一步，考虑到一个batch有64个样本，表达式可以写成如下形式，其中 $\mathbf{W}$为 $10 \times 500$； $\mathbf{Z}$为 $64 \times 10$； $\mathbf{U}$为 $64 \times 500$：
$$\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{W}}=\frac{\partial loss}{\partial \mathbf{Z^T}} \cdot \mathbf{U}$$

4 第七层ReLU

4.1 代码分析

cpu代码分析如下，注，该层没有参数，只需对输入求导

void ReLULayer<Dtype>::Backward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
    const vector<bool>& propagate_down,
    const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {
  if (propagate_down[0]) {
    const Dtype* bottom_data = bottom[0]->cpu_data();
    const Dtype* top_diff = top[0]->cpu_diff();
    Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_cpu_diff();
    const int count = bottom[0]->count();

    //见公式推导
    Dtype negative_slope = this->layer_param_.relu_param().negative_slope();
    for (int i = 0; i < count; ++i) {
      bottom_diff[i] = top_diff[i] * ((bottom_data[i] > 0)
          + negative_slope * (bottom_data[i] <= 0));
    }
  }
}

4.2 公式推导

设输入向量为$\mathbf{bottom\_data}$，输出向量为$\mathbf{top\_data}$，ReLU层公式为

$$top\_data_i= \left \{ \begin{aligned} & bottom\_data_i & bottom\_data_i \gt 0 \\ & bottom\_data_i*slope & bottom\_data_i \le 0 \end{aligned} \right .$$ 所以，loss对输入的偏导为:
$$\frac{\partial loss}{\partial bottom\_data_i}=\frac{\partial loss}{\partial top\_data_i} \cdot \frac{\partial top\_data_i}{\partial bottom\_data_i} \\ = \left \{ \begin{aligned} & top\_diff_i & bottom\_data_i \gt 0\\ & top\_diff_i * slope & bottom\_data_i \le 0 \end{aligned} \right .$$

5 第五层Pooling

5.1 代码分析

Maxpooling的cpu代码分析如下，注，该层没有参数，只需对输入求导

void PoolingLayer<Dtype>::Backward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
      const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {

  const Dtype* top_diff = top[0]->cpu_diff();
  Dtype* bottom_diff = bottom[0]->mutable_cpu_diff();
  // bottom_diff初始化置0
  caffe_set(bottom[0]->count(), Dtype(0), bottom_diff);
  const int* mask = NULL;  // suppress warnings about uninitialized variables

  ...
    // 在前向计算时max_idx中保存了top_data中的点是有bottom_data中的点得来的在该feature map中的坐标
    mask = max_idx_.cpu_data();
    // 主循环，按(N,C,H,W)方式便利top_data中每个点
    for (int n = 0; n < top[0]->num(); ++n) {
      for (int c = 0; c < channels_; ++c) {
        for (int ph = 0; ph < pooled_height_; ++ph) {
          for (int pw = 0; pw < pooled_width_; ++pw) {
            const int index = ph * pooled_width_ + pw;
            const int bottom_index = mask[index];
            // 见公式推导
            bottom_diff[bottom_index] += top_diff[index];
          }
        }
        bottom_diff += bottom[0]->offset(0, 1);
        top_diff += top[0]->offset(0, 1);
        mask += top[0]->offset(0, 1);

      }
    }

}

5.2 公式推导

由图可知，maxpooling层是非线性变换，但有输入与输出的关系可线性表达为$bottom\_data_j=top\_data_i$（所以需要前向计算时需要记录索引i到索引j的映射max_idx_.
链式求导有：

$$bottom\_diff_j = \frac{\partial loss}{\partial bottom\_data_j}=\frac{\partial loss}{\partial top\_data_i} \cdot \frac{\partial top\_data_i}{\partial bottom\_data_j} \\= top\_diff_i \cdot 1（注意下标）$$

6 第四层Convolution

void ConvolutionLayer<Dtype>::Backward_cpu(const vector<Blob<Dtype>*>& top,
      const vector<bool>& propagate_down, const vector<Blob<Dtype>*>& bottom) {
  const Dtype* weight = this->blobs_[0]->cpu_data();
  Dtype* weight_diff = this->blobs_[0]->mutable_cpu_diff();
  for (int i = 0; i < top.size(); ++i) {
    const Dtype* top_diff = top[i]->cpu_diff();
    const Dtype* bottom_data = bottom[i]->cpu_data();
    Dtype* bottom_diff = bottom[i]->mutable_cpu_diff();
    // Bias gradient, if necessary.
    if (this->bias_term_ && this->param_propagate_down_[1]) {
      Dtype* bias_diff = this->blobs_[1]->mutable_cpu_diff();
      // 对于每个Batch中的样本，计算偏置的偏导
      for (int n = 0; n < this->num_; ++n) {
        this->backward_cpu_bias(bias_diff, top_diff + n * this->top_dim_);
      }
    }
    if (this->param_propagate_down_[0] || propagate_down[i]) {
      // 对于每个Batch中的样本,关于权值及输入求导部分代码展开了函数（非可运行代码）
      for (int n = 0; n < this->num_; ++n) {

        // gradient w.r.t. weight. Note that we will accumulate diffs.
        //top_diff(50*64) * bottom_data(500*64,Transpose) = weight_diff(50*500)
        // 注意，此处(Dtype)1., this->blobs_[0]->mutable_gpu_diff()
        // 中的(Dtype)1.：使得在一个solver的iteration中的多个iter_size
        // 的梯度没有清零，而得以累加
        caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasNoTrans, CblasTrans, conv_out_channels_ / group_,
          kernel_dim_, conv_out_spatial_dim_,
          (Dtype)1., top_diff + n * this->top_dim_, bottom_data + n * this->bottom_dim_,
          (Dtype)1., weight_diff);

        // gradient w.r.t. bottom data, if necessary.
        // weight(50*500,Transpose) * top_diff(50*64) = bottom_diff(500*64)
        caffe_cpu_gemm<Dtype>(CblasTrans, CblasNoTrans, kernel_dim_,
          conv_out_spatial_dim_, conv_out_channels_ ,
          (Dtype)1., weight, top_diff + n * this->top_dim_,
          (Dtype)0., bottom_diff + n * this->bottom_dim_);

      }
    }
  }
}

说明：

1. 第四层的bottom维度$(N,C,H,W)=(64,20,12,12)$，top的维度bottom维度$(N,C,H,W)=(64,50,8,8)$,由于每个样本单独处理，所以只需要关注$(C,H,W)$的维度，分别为$(20,12,12)$和$(50,8,8)$
2. 根据（Caffe）卷积的实现，该层可以写成矩阵相乘的形式$Weight\_data \times Bottom\_data^T = Top\_data$
3. $Weight\_data$的维度为$C_{out} \times (C*K*K)=50 \times 500$
4. $Bottom\_data$的维度为$(H*W) \times (C*K*K)=64 \times 500$，$64$为$8*8$个卷积核的位置，$500=C*K*K=20*5*5$
5. $Top\_data$的维度为$64 \times 50$
6. 写成矩阵表示后，从某种角度上与全连接从（也是表示成矩阵相乘）相同，因此，可以借鉴全连接层的推导。