算法_Prim算法构造最小生成树

基本概念：
生成树：一个连通图的生成树是它的一个极小连通子图
从生成树的定义可知，一个连通图的生成树含有图的全部n个顶点和n-1条边。
最小生成树（minimal spanning tree）：给连通图的边附上权值，则其所有权值之和最小的生成树是最小生成树。

Prim算法构造最小生成树：
假设有连通图G=（V，E），其最小生成树表示为G’=(U，TE）。

1. 从V中选择一个顶点v作为起点加入到U中，将v到其他顶点的所有边作为候选边（三类：到自身（权值为0）、到邻接点、到非邻接点（权值为∞））
2. 重复以下步骤直到其他n-1个顶点加入到U中：
   1）从候选边中选择最小边（权值最小），并将其关联的顶点k加入到U；
   2）考查V-U中的所有顶点j，修改候选边，如果（k，j）的权值小于原来和顶点j关联的候选边，则用前者取代后者。

代码实现：

void Prim(MatGraph *G, int v)
{
//MAXV为预处理器常量，值为顶点个数
	int lowcost[MAXV];
	int closest[MAXV];
	int i, j, k, MIN;
	for (i=0; i<G->n; i++)
	{
		lowcost[i] = G->edgs[v][i];
		closest[i] = v;
	}
	for (i=1; i<G->n; i++)
	{
	//IFN为代表无穷大权值的预处理器常量
		MIN = IFN;
		for (j=0; j<G->n; j++)
			if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < MIN)
			{
				MIN = lowcost[i];
				k = j;
			}
			printf("there is a minimal edge (%d,%d), weight:%d\n", closest[k], k, lowcost[k]);
			lowcost[k] = 0;
			for (j=0; j<G->n; j++)
				if (lowcost[j] != 0 && G->edgs[k][j] < lowcost[j])
				{
					lowcost[j] = G->edgs[k][j];
					closest[j] = k;
				}
	}
}

算法分析：Prim算法用到了两重循环，并且循环次数图的顶点个数有关，因此其时间复杂度为O（n²），而与边数无关，因此Prim算法特别适合稠密图求最小生成树。