74、基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断框架

基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断框架

1. 引言

行星齿轮箱作为旋转机械的重要组成部分，凭借其紧凑结构下的大动力传输能力而备受瞩目。然而，它常常在恶劣工况下运行，这可能导致机器意外停机，甚至引发灾难性事故。因此，如何对行星齿轮箱进行健康评估，以提高机械设备的可靠性和稳定性，成为了一个极具挑战性的问题。

过去几十年里，人们研究了多种行星齿轮箱状态维护（CBM）技术，如振动分析、声发射和温度分析等。其中，基于振动的方法应用广泛，因为振动信号包含了反映机械设备动态特性的丰富信息。不过，在实际应用中，由于空间有限，外部振动传感器可能无法安装在被监测设备上，导致振动信号并非总是可用。

随着测量技术和制造工艺的进步，许多机械设备，如数控机床、机器人和电机等，都安装了大量内置编码器传感器。编码器信号与振动信号类似，也包含反映机器健康状况的动态信息，具备故障诊断的潜力。而且，编码器信号相比振动信号有诸多优势，例如：
- 由于编码器传感器与故障源直接连接，传输路径相对较短，信号信噪比（SNR）高，能检测早期故障。
- 可用于低速运行机器的状态评估，克服了振动信号的固有局限性。
- 编码器传感器已安装在机器上，基于编码器的方法提供了零成本的状态监测方案，为开发具有自诊断能力的机械设备提供了机会。

尽管编码器信号有这些优点，但目前对其基本特性的研究较少，基于编码器的状态监测方案框架也尚未完善。为填补编码器数据驱动诊断方法的空白，本文提出了一个利用编码器信号诊断行星齿轮箱潜在故障的框架。

2. 预备知识

2.1 重叠组稀疏性

在某些情况下，大值相邻会呈现出分组特性。为促进组稀疏性，选择考虑组稀疏特性的重叠组稀疏性作为特殊正则化项，定义为：
[R(u) = \sum_{n} \left[ \sum_{k = 0}^{K - 1} |u(n + k)|^2 \right]^{1/2}]
其中，(n) 是组索引，(k) 是每个组内的索引，(K) 是组的大小。为方便起见，用符号 (u_{n,K} = [u(n), u(n + 1), \cdots, u(n + K - 1)] \in \mathbb{R}^K) 表示第 (n) 组，那么上式可改写为 (R(u) = \sum_{n} |u_{n,K}|_2)。

2.2 非凸惩罚函数

与凸惩罚函数（如 (l_1) 范数）相比，非凸惩罚函数避免了对大振幅分量的低估，能更有效地促进稀疏性。以下是典型的稀疏促进惩罚函数：
| 惩罚函数 | (\psi(u; \alpha)) | (u / \psi’(u; \alpha)) |
| — | — | — |
| abs | (|u|) | (|u|) |
| log | (\frac{1}{\alpha} \log(1 + \alpha |u|)) | (|u| (1 + \alpha |u|)) |
| rat | (\frac{|u|}{1 + \alpha |u| / 2}) | (|u| (1 + \alpha |u|)^2) |
| atan | (\frac{2}{\alpha \sqrt{3}} \tan^{-1} \left( \frac{1 + 2\alpha |u|}{\sqrt{3}} \right) - \frac{\pi}{6}) | (|u| (1 + \alpha |u| + \alpha^2 |u|^2)) |

当参数 (\alpha) 相同时，“atan” 函数的凹度最大，因此本文选择 “atan” 作为惩罚函数。

3. 编码器信号的基本特征

从有局部故障的被监测设备收集的编码器信号通常是多个分量的混合，并受到背景噪声的干扰，可表示为：
[u(t) = v_0t + \sum_{i} g(t - iT_0) + \sum_{k} h_k(t) + w(t)]
其中：
- (g(t) = \frac{1}{2} A [\cos(2\pi ft) - 1])
- (h_k = B_k \sin(2\pi f_k t + \varphi_k))

第一项是旋转机械以恒定速度 (v_0) 运行时的累积角位置；第二项是由局部故障引起的周期为 (T_0) 的周期性瞬变；第三项是由齿轮啮合或负载变化产生的谐波分量；最后一项是背景噪声。

以下是模拟编码器信号的参数：
| (v_0) (rpm) | (A) (°) | (f) (Hz) | (T_0) (s) | (B_1) (°) | (f_1) (Hz) | (\varphi_1) (rad) |
| — | — | — | — | — | — | — |
| 600 | 0.191 | 200 | 0.1 | 0.9549 | 10 | (\frac{\pi}{6}) |
| (B_2) (°) | (f_2) (Hz) | (\varphi_2) (rad) | (B_3) (°) | (f_3) (Hz) | (\varphi_3) (rad) | (B_4) (°) |
| 0.2387 | 20 | (\frac{\pi}{3}) | 0.573 | 25 | 15 | 0.1432 |
| (f_4) (Hz) | (\varphi_4) (rad) | (B_5) (°) | (f_5) (Hz) | (\varphi_5) (rad) | | |
| 50 | (\frac{\pi}{6}) | 0.0477 | 200 | (\frac{\pi}{6}) | | |

由于故障瞬变被累积角位置和其他干扰完全淹没，无法直接从原始编码器信号中检测到清晰的故障特征，因此需要从原始编码器信号中提取诊断信息，以识别行星齿轮箱的健康状况。

4. 重复瞬变提取方法

4.1 基于编码器数据的健康评估框架

4.1.1 IAS 转换（差分法）

为分析行星齿轮箱的动态行为，需将位置序列转换为更有意义的瞬时角速度（IAS）。具体通过一阶差分法实现 IAS 的估计，公式为：
[v(t_k) = u’(t_k) \approx \frac{u(t_k + \Delta t) - u(t_k)}{\Delta t}]
其中，(u(t_k)) 和 (v(t_k)) 分别表示 (t_k) 时刻的角位置和估计的 IAS，(\Delta t) 是采样间隔。

4.1.2 关注分量增强（梳状滤波）

信号转换后，采用梳状滤波（CF）从有噪声的估计 IAS 中提取关注的周期分量。传统上，梳状滤波是通过对 (P) 个时长为 (T) 的数据段进行平均来实现的。通过梳状滤波，保留周期为 (T) 的感兴趣分量，同时衰减其他干扰。数学表达式为：
[y(n\Delta t) = \frac{1}{P} \sum_{p = 0}^{P - 1} v(n\Delta t + pM\Delta t)]
其中，(v) 是使用一阶差分法估计的 IAS，(M) 是每个周期的采样点数，(P) 是段数。

4.1.3 周期瞬变提取（基于稀疏性的信号分解算法）

尽管通过梳状滤波有效增强了周期特征，但周期瞬变仍可能受到与故障无关的谐波分量干扰，这些谐波分量的频率是关注特征频率 (1/T) 的整数倍。因此，提出了一种基于稀疏性的信号分解算法来分离周期瞬变和谐波分量，该算法基于谐波分量和周期瞬变分量具有不同形态的事实。具体来说，周期瞬变在时域中表现出稀疏性，而谐波分量在频域中表现出稀疏性。为从多分量信号中提取故障引起的重复瞬变，构建了以下无约束优化问题：
[\begin{cases}
x_1^ , x_2^ = \arg \min_{x_1, x_2} F(x_1, x_2) = \frac{1}{2} |y - A_1x_1 - x_2| 2^2 + \lambda_1 \sum {n} \psi([x_1] n; \alpha) + \lambda_2 \sum {n} \psi(|[\mathbf{b} \circ x_2] {n,K}|_2; \alpha) \
y = A_1x_1 + x_2 + n \in \mathbb{R}^N \
\end{cases}]
其中，(y) 由谐波分量 (A_1x_1)、故障引起的周期瞬变 (x_2) 和背景噪声 (n) 组成，(A_1) 表示逆傅里叶变换算子，(\lambda_1) 和 (\lambda_2) 是正则化参数。第三项 (\lambda_2 \sum {n} \psi(|[\mathbf{b} \circ x_2]_{n,K}|_2; \alpha)) 是一个周期组稀疏性项，用于促进具有周期组稀疏特性的周期瞬变。

在优化问题中，(\mathbf{b}) 是一个周期二进制向量，定义为：
[\mathbf{b} = \begin{bmatrix}
1, \cdots, 1 & 0, \cdots, 0 & \cdots & 1, \cdots, 1 & 0, \cdots, 0 \
\underbrace{} {N_1} & \underbrace{} {N_0} & & \underbrace{} {N_1} & \underbrace{} {N_0}
\end{bmatrix}]
其中，(N_1) 表示非零点数，(N_0) 表示相邻瞬变之间的零点数，(K) 表示组大小。这三个参数需满足以下性质：
- (N_0 + N_1 = f_s / f_c)
- (N_0 + N_1 = K / M)

其中，(f_s) 和 (f_c) 分别表示采样率和故障特征频率，(M) 表示周期二进制向量 (\mathbf{b}) 中组大小为 (K) 时的周期数，建议设置为 2 - 5，本文选择 (M = 3)。

为求解上述无约束优化问题，应用分裂增广拉格朗日收缩算法（SALSA），将优化问题转换为以下迭代算法：
- (x_1 = \arg \min_{x_1} \frac{1}{2} |y - A_1x_1 - x_2| 2^2 + \frac{\mu}{2} |u_1 - x_1 - d|_2^2)
- (x_2 = \arg \min {x_2} \frac{1}{2} |y - A_1x_1 - x_2| 2^2 + \lambda_2 \sum {n} \psi(|[\mathbf{b} \circ x_2] {n,K}|_2; \alpha))
- (u_1 = \arg \min {u_1} \lambda_1 \sum_{n} \psi([u_1]_n; \alpha) + \frac{\mu}{2} |u_1 - x_1 - d_1|_2^2)
- (d = d - (u_1 - x_1))

其中，最小化问题（4.1.1）是一个最小二乘问题，其显式解为：
[x_1 = \frac{1}{1 + \mu_1} A_1^T (y - x_2 - A_1(u_1 - d)) + (u_1 - d)]

按照相关文献的步骤，基于 MM 算法推导最小化问题（4.1.2）和（4.1.3）的解：
- (x_2 = (y - A_1x_1) / (1 + \lambda_2 r(v_2)))，其中 (r(v_2)[n] = \sum_{i = 0}^{K - 1} b_i \frac{\psi’(\sqrt{\sum_{k = 0}^{K - 1} b_k [v_2] {n - i + k}^2}; \alpha)}{\sqrt{\sum {k = 0}^{K - 1} b_k [v_2]_{n - i + k}^2}})
- (u_1 = \mu (x_1 + d_1) / (1 + \lambda_1 r(v_1)))，其中 (r(v_1)[n] = \frac{\psi’([v_1]_n; \alpha)}{[v_1]_n})

基于编码器数据的行星齿轮箱健康评估框架流程图如下：

graph LR
    A[编码器信号] --> B[差分法估计 IAS]
    B --> C[梳状滤波增强故障特征]
    C --> D[基于稀疏性的信号分解算法提取周期瞬变]
    D --> E[步骤 1: 周期瞬变提取]
    E --> F[步骤 2: 状态评估]
    F --> G[识别行星齿轮箱健康状况]

4.2 性能验证

为验证所提方法的有效性，对模拟编码器信号进行处理。原始编码器信号是累积位置序列，先用差分法将其转换为 IAS，但由于存在多个干扰分量，未检测到清晰的故障瞬变。然后对 IAS 应用梳状滤波，结果显示故障瞬变仍受谐波分量干扰。最后，采用基于稀疏性的信号分解方法分离瞬变分量和谐波分量，明显观察到重复的故障瞬变，表明存在机械故障。

5. 实验验证

为进一步证实所提方法的有效性，在行星齿轮箱试验台上对不同故障类型的齿轮进行了测试。实验设置包括由伺服电机驱动的行星齿轮箱、用于加载的磁制动器以及安装在输入轴和输出轴上的两个编码器，用于采集编码器信号。行星齿轮箱的详细参数如下：
| 齿轮类型 | 齿数 |
| — | — |
| 齿圈 | 82 |
| 太阳轮 | 20 |
| 行星轮 | 31 |

实验中，太阳轮连接输入轴，齿圈固定。使用输入频率为 20 Hz 时采集的编码器信号评估所提方法的有效性，采样频率为 5000 Hz，时间长度为 3 s。行星齿轮箱的特征频率如下表所示：
| (f_i) (Hz) | (f_o) (Hz) | (f_p) (Hz) | (f_s) (Hz) | (f_r) (Hz) |
| — | — | — | — | — |
| 20 | 3.9216 | 10.3732 | 48.2353 | 11.7647 |

5.1 案例一：行星轮单齿磨损

测试了一个有单齿磨损的行星轮，从输出轴获取的编码器信号因累积角位置占主导，无法看到故障特征。将编码器信号通过差分法转换为 IAS 后，由于 IAS 是多分量信号的叠加，仍无法从中识别健康状况。接着应用梳状滤波，虽增强了关注分量，但故障瞬变仍被谐波分量淹没。最后采用基于稀疏性的信号分解方法，成功提取出重复的故障瞬变，相邻瞬变的间隔为 (1/f_p)，表明行星轮存在故障。

5.2 案例二：行星轮双齿磨损

测试了一个有两个间隔 13 齿磨损的行星轮，与案例一类似，估计的 IAS 中无法检测到故障信息。应用梳状滤波后，重复的故障瞬变仍被谐波分量强烈淹没。最后使用基于稀疏性的信号分解算法提取出重复的故障瞬变，明显检测到故障特征。在一个故障周期 (1/f_p) 内包含两个间隔为 (13/(31f_p)) 的相邻脉冲，这意味着行星轮上同时存在两个故障。

6. 结论

本文提出了一个利用编码器信号的行星齿轮箱健康监测框架。首先使用差分法将编码器信号转换为 IAS，然后通过梳状滤波突出关注分量并消除 IAS 信号中的背景噪声，最后采用基于稀疏性的信号分解算法提取由局部机械故障引起的重复故障瞬变。通过该框架，成功实现了行星齿轮箱的故障诊断，为利用编码器信号进行状态评估提供了一种有前景的方法。

7. 方法优势总结

基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断框架具有以下显著优势，以下通过表格形式进行总结：
|优势|具体描述|
|----|----|
|信号优势|编码器信号传输路径短，信噪比高，能检测早期故障，且可用于低速运行机器的状态评估，克服了振动信号的局限性。|
|成本优势|编码器传感器已安装在机器上，基于编码器的方法提供了零成本的状态监测方案。|
|诊断效果优势|通过差分法、梳状滤波和基于稀疏性的信号分解算法，能有效提取故障瞬变，实现准确的故障诊断。|

8. 实际应用建议

在实际应用基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断框架时，可参考以下操作步骤：
1. 数据采集 ：确保编码器传感器正确安装在行星齿轮箱的输入轴和输出轴上，按照设定的采样频率（如本文中的 5000 Hz）和时间长度（如 3 s）采集编码器信号。
2. IAS 转换 ：使用一阶差分法将采集到的编码器信号转换为 IAS，公式为 (v(t_k) = u’(t_k) \approx \frac{u(t_k + \Delta t) - u(t_k)}{\Delta t})，其中 (u(t_k)) 和 (v(t_k)) 分别表示 (t_k) 时刻的角位置和估计的 IAS，(\Delta t) 是采样间隔。
3. 梳状滤波 ：确定关注的周期分量的周期 (T)，选择合适的段数 (P) 和每个周期的采样点数 (M)，应用梳状滤波公式 (y(n\Delta t) = \frac{1}{P} \sum_{p = 0}^{P - 1} v(n\Delta t + pM\Delta t)) 增强关注分量。
4. 稀疏性信号分解 ：根据故障特征频率 (f_c)、采样率 (f_s) 等参数确定周期二进制向量 (\mathbf{b}) 的相关参数 (N_1)、(N_0) 和 (K)，并选择合适的正则化参数 (\lambda_1) 和 (\lambda_2)，应用分裂增广拉格朗日收缩算法（SALSA）求解无约束优化问题，提取故障瞬变。
5. 故障诊断 ：根据提取的故障瞬变的特征（如相邻瞬变的间隔）判断行星齿轮箱是否存在故障以及故障的类型。

9. 未来发展趋势

随着工业 4.0 和智能制造的发展，基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断技术也将不断发展，未来可能呈现以下趋势：
- 智能化诊断 ：结合人工智能算法，如深度学习、机器学习等，实现更智能、自动化的故障诊断，提高诊断的准确性和效率。
- 多传感器融合 ：将编码器信号与其他传感器信号（如振动传感器、温度传感器等）进行融合，综合利用多种信息进行故障诊断，提高诊断的可靠性。
- 远程监测与预警 ：借助物联网技术，实现行星齿轮箱的远程监测和实时预警，及时发现潜在故障，减少停机时间和维修成本。

10. 总结

基于编码器信号的行星齿轮箱故障诊断框架为行星齿轮箱的健康监测提供了一种有效的方法。通过差分法、梳状滤波和基于稀疏性的信号分解算法，能够从编码器信号中提取出故障相关的重复瞬变，实现对行星齿轮箱故障的准确诊断。该方法具有信号优势、成本优势和诊断效果优势，在实际应用中具有广阔的前景。同时，随着技术的不断发展，该领域也将朝着智能化诊断、多传感器融合和远程监测与预警等方向发展。

以下是整个故障诊断流程的 mermaid 流程图，更清晰地展示了从数据采集到故障诊断的全过程：

graph LR
    A[数据采集（编码器信号）] --> B[IAS 转换（差分法）]
    B --> C[梳状滤波]
    C --> D[稀疏性信号分解]
    D --> E[故障诊断]
    E --> F{是否有故障?}
    F -- 是 --> G[采取维修措施]
    F -- 否 --> H[继续监测]
    G --> A
    H --> A

通过以上的流程和方法，能够更好地保障行星齿轮箱的稳定运行，提高工业生产的可靠性和效率。