完全背包和多重背包

一、完全背包

定义：有一个背包的容积为V，有N个物品，每个物品的体积为v[i]，价值为w[i]，每个物品可以取无限次放入背包中，背包所有物品价值和最大是多少？

与01背包问题的区别：

1.01背包问题里面的物品只能取1件，但是完全背包可以取无限件。

2.状态转移方程式：

01背包：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
//选择前i个物品，背包体积为j时的最优方案

完全背包：

dp[i][j]=max(dp[i][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j])

完全背包并不是找到上一件物品背包容量等于j-v[i]的时候,而是找到当前物品情况下j-v[i]的最大价值，因为我们物品可以无限次使用，故dp[i][j-v[i]]+w[i]的时候就是在求最大价值。

3. 完全背包问题 - AcWing题库

有 N 种物品和一个容量是 V的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

10

 代码

#include<stdio.h>

#define N 1010

int f[N][N], v[N], w[N];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}

int main(){
    int n, m;
    scanf("%d%d",&n,&m);

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )   scanf("%d%d",&v[i], &w[i]);

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
              if(j<v[i])
                f[i][j]=f[i-1][j];
              else
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j - v[i]] +  w[i]);
        }
    printf("%d\n",f[n][m]);
    return 0;
}

二、多重背包

定义：有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Ci件可用，每件耗费的空间是Vi ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。

注：与完全背包相似，但是每个物品都有数量规定。

状态转移方程式：

for(int i=1;i<=n;i++)   //物品数量
  for(int j=1;j<=m;j++) //背包容量
    for(int k=0;k<=c[i];k++) //物品选择数量
    {
       if(j<k*v[i])  //背包容量小于这件物品的容量
           dp[i][j]=dp[i-1][j];
       else 
           dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
    }

有 N 种物品和一个容量是 V的背包。

第 i 种物品最多有 si件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤100
0<vi,wi,si≤100

输入样例

4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2

输出样例：

10

 

#include<stdio.h>
 int v[1001],w[1001],s[1001];
    int dp[1001][1001]={0};
    int n,m;
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{


    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
    for(int i=1; i<=n; i++) //物品数量
        for(int j=1; j<=m; j++) //背包容量
            for(int k=0; k<=s[i]; k++) //物品选择数量
            {
                    if(j>=k*v[i])
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
            }
    printf("%d",dp[n][m]);
    return 0;
}