LeetCode - 371. Sum of Two Integers

在不准使用+和-的情况下实现两个整数的加法，那么肯定要用到位运算了。我们考虑位运算加法的四种情况：

0 + 0 = 0

1 + 0 = 1

0 + 1 = 0

1 + 1 = 1(with carry)

在学习位运算的时候，我们知道XOR的一个重要特性是不进位加法，那么只要再找到进位，将其和XOR的结果加起来，就是最后的答案。通过观察上面的四种情况我们可以发现，只有在两个加数的值都是1的时候才会产生进位，所以我们采用&来计算进位的情况，但是注意到由于是进位，所以我们必须要将&的结果左移一位，然后再和XOR的结果相加。怎么相加呢，还是要调用getSum这个函数，这里需要再添加上递归最底层的情况，b == 0，也就是进位是0，这时候只要返回a就可以了，代码如下：

class Solution {
public:
    int getSum(int a, int b) {
        if(b==0) return a;
        int sum=a^b;
        int carry=(a&b)<<1;
        return getSum(sum,carry);
    }
};

不递归方式。

class Solution {
public:
    int getSum(int a, int b) {
        while(b)
        {
            int atmp=a^b;
            int btmp=(a&b)<<1;
            a=atmp;
            b=btmp;
        }
        return a;
    }
};

知识点：

1. 使用位运算实现的加法，这是个基础的问题，记录一下

2. XOR的性质，不进位加法

公式讲解：

不用加减法计算两个整数的和。这道题其实是考察一些基本的布尔代数知识。我们知道，二进制表示时： 
0 + 0 = 00 
1 + 0 = 01 
0 + 1 = 01 
1 + 1 = 10

所以，两个二进制整数 aa 和 bb，如果相加的过程中如果没有进位，那么 a+b=a⊗ba+b=a⊗b，这里 ⊗⊗ 表示异或。那么 a+ba+b的进位为多少呢，只有 1+11+1 时才会出现进位。所以 a+ba+b 的进位可以表示为 2×(a & b)2×(a & b)，这里 & 表示两个数字的按位与运算。之所以要乘以 22，是因为要向上进一位。

所以有如下关系： 
如果 a,ba,b 时任意的二进制整数。 
设 

x0=a⊗bc0=2×(a & b)x0=a⊗bc0=2×(a & b)

那么有 

a+b=x0+c0a+b=x0+c0

并且c0c0 的最低位为 00。 
这个过程再进行一遍： 

x1=x0⊗c0c1=2×(x0 & c0)x1=x0⊗c0c1=2×(x0 & c0)

那么有： 

a+b=x0+c0=x1+c1a+b=x0+c0=x1+c1

并且 c1c1 的最后两位都是 00。 这样进行 NN 此后，cNcN 的后 N+1N+1 就都是 00 了。 

不用加减法计算两个整数的和。这道题其实是考察一些基本的布尔代数知识。我们知道，二进制表示时： 
0 + 0 = 00 
1 + 0 = 01 
0 + 1 = 01 
1 + 1 = 10

所以，两个二进制整数 aa 和 bb，如果相加的过程中如果没有进位，那么 a+b=a⊗ba+b=a⊗b，这里 ⊗⊗ 表示异或。那么 a+ba+b的进位为多少呢，只有 1+11+1 时才会出现进位。所以 a+ba+b 的进位可以表示为 2×(a & b)2×(a & b)，这里 & 表示两个数字的按位与运算。之所以要乘以 22，是因为要向上进一位。