大数同余定理

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(a+b)%c=(a%c+b%c)%c

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring> 
using namespace std;
char a[1000];
int n,i;
int main()
{
	while (~scanf("%s%d",a,&n))
	{
		int m=0;
		int l=strlen(a);
		for (i=0;i<l;i++)
			m=((m*10)%n+(a[i]-'0'))%n;
		cout<<m<<endl;
	}
	return 0;
}

以下转自wiki百科"同余":http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98

数学上，当两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与“≡”符号者为德国数学家高斯。

同余符号

两个整数 $a$ ， $b$ ，若它们除以正整数 $m$ 所得的余数相等，则称 $a$ ， $b$ 对于模 $m$ 同余

记作 $a \equiv b \pmod{m}$

读作 $a$ 同余于 $b$ 模 $m$ ，或读作 $a$ 与 $b$ 关于模 $m$ 同余。

比如 $26 \equiv 14 \pmod{12}$ 。

同余于的符号是同余相等符号 ≡。统一码值为 U+2261。但因为方便理由，人们有时会把它(误)写为普通等号 (=)。

整除性

$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow c\cdot m=a-b, c \in \mathbb{Z}$ (即是说 a 和 b 之差是 m 的倍数)
换句话说， $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid(a-b)$ ^{[注 1]}

传递性

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\b \equiv c \pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$

保持基本运算

$\left. \begin{matrix}a \equiv b \pmod{m} \\c \equiv d\pmod{m}\end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \\ ac \equiv bd \pmod{m} \end{matrix} \right.$
这性质更可进一步引申成为这样：
$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \begin{cases} an \equiv bn \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{Z} \\ a^n \equiv b^n \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{N}^0\end{cases}$

除法原理

$a \equiv b \pmod{cn} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$
$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ n|m \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$ ^{[注 1]}
$\left. \begin{matrix} ac \equiv bc \pmod{m} \\ (c, m) = 1 \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod m$ ^{[注 2]}

$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m_1} \\ a \equiv b \pmod{m_2} \\ \vdots \\ a \equiv b \pmod{m_n} \\ (n \ge 2) \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod{[m_1,m_2,\cdots,m_n]}$ ^{[注 3]}

欧拉定理

主条目：欧拉定理

$a^{\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}$

威尔逊定理

主条目：威尔逊定理

$(p-1)!\ \equiv\ -1\ (\mbox{mod}\ p)$

整除多项式

因为 $\binom{t}{k} =\frac{(t)_k}{k!}$ ，而组合数为整数，多项式 $(t)_k$ 整除阶乘k!。

(t)_k \equiv t(t-1)(t-2)\cdots(t-k+1) \equiv 0 (mod k!)

例子

求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个数对于模10同余。

$10\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10^{n}\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10001\equiv 10^{4}+1\equiv 1+1 (\textrm{mod }\ 3)$ 。
注释[编辑]
1. ^ ^1.0 ^1.1 $m \mid x$ 表示 m 能整除 x，或者说 x 能被 m 整除。
2. ^ $(m_1,m_2,\cdots,m_n)$ 表示 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 的最大公约数。
3. ^ $[m_1,m_2,\cdots,m_n]$ 表示 $m_1,m_2,\cdots,m_n$ 的最小公倍数。