UVa 11401 - Triangle Countin

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数论

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本文通过组合数学和计数原理，探讨了利用给定棍子长度构成不同三角形的数量，具体分析了正向求解方法，揭示了构成三角形数量的规律，并给出了求解公式。

题目：给你n根长度分别为1，2，..，n的棍子，问能组成多少个不同的三角形。

分析：组合数学，计数原理。本题可以正向求解也可以反向求补集，这里采用正向求解。

1.首先写出前几组数据，找规律：{ 里面的括号是子情况 }

（4，3，（2））

（5，4，（3，2））

（6，5，（4，3，2））（6，4，（3））

（7，6，（5，4，3，2））（7，5，（4，3））

（8，7，（6，5，4，3，2））（8，6，（5，4，3））（8，5，（4））

对于上述的数据采用记号[a，b，c，...] 记录对应每种的子情况数，则转化如下：

[1]

[2]

[3，1]

[4，2]

[5，3，1]

观察发现，每组中对应的子情况数依次递增1，每当最后的一组变为3时，后面就出现新的组；

这是因为n的奇偶性不同产生的影响，当最长的边为l时，对应存在的解应该如下：

（l，l-1，（2））（l，l-2，（3，2）），... ，（l，l-k，（k，..，2））

无论l的奇偶性，k均取值l/2（这里是整除），因此解的个数与奇偶性相关的；

2.然后观察计算

解的个数为：n-3 + n-5 + .. + r；{ n为奇数r为2，n为偶数r为1 }

分就两种情况求通向公式有：

f（n）=（n^2 + 4n +4）/ 4 { n为偶数 }；f（n）= （n^2 + 4n +3）/ 4 { n为奇数 }；

因为写成程序时是整除运算，所以这里都是用偶数的通项公式没有影响；

因此有：f（n）= （n^2 + 4n +4）/ 4，为最长边为n时的解的个数，求和输出即可。

说明：注意使用long long类型。

#include <iostream>
#include <cstdlib>

using namespace std; 

long long F[1000001];
long long S[1000001];

int main()
{
	long long temp;
	for (int i = 4 ; i < 1000001 ; ++ i) {
		F[i] = (1LL*i*i-i*4LL+4LL)/4LL;
		S[i] = 0LL+F[i]+S[i-1];
	}
	int n;
	while (cin >> n && n >= 3)
		cout << S[n] << endl;
	
	return 0;
}