算法之Eigen库

Eigen库是用于线性代数运算的C++模板库，提供了矩阵、向量、数值求解器等线性代数相关算法的实现。以下是Eigen库的一些基本用法示例：

1. 安装Eigen库

首先，你需要下载并安装Eigen库。你可以从Eigen的官方网站上获取最新版本：Eigen官方网站

2. 定义矩阵和向量：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    // 定义动态大小矩阵
    Eigen::MatrixXd dynamicMatrix(3, 3);
    
    // 定义动态大小向量
    Eigen::VectorXd dynamicVector(3);
    
    // 定义固定大小矩阵
    Eigen::Matrix3d fixedMatrix;
    
    // 定义固定大小向量
    Eigen::Vector3d fixedVector;
    
    // 初始化矩阵和向量的值
    dynamicMatrix << 1, 2, 3,
                     4, 5, 6,
                     7, 8, 9;
                     
    dynamicVector << 1, 2, 3;
    
    fixedMatrix << 1, 2, 3,
                   4, 5, 6,
                   7, 8, 9;
                   
    fixedVector << 1, 2, 3;

    return 0;
}

3. 矩阵和向量运算：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    Eigen::MatrixXd A(2, 2);
    Eigen::VectorXd b(2), c(2);

    A << 1, 2,
         3, 4;

    b << 5, 6;

    // 矩阵和向量相乘
    c = A * b;

    // 矩阵相加和相减
    Eigen::MatrixXd D = A + A;
    Eigen::MatrixXd E = A - A;

    return 0;
}

4. 求解线性方程组：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    Eigen::MatrixXd A(2, 2);
    Eigen::VectorXd b(2);

    A << 2, -1,
         1,  1;

    b << 1, 2;

    // 解线性方程组 Ax = b
    Eigen::VectorXd x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);

    return 0;
}

5. 特征值和特征向量：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    Eigen::MatrixXd A(3, 3);
    A << 1, 2, 3,
         4, 5, 6,
         7, 8, 9;

    // 计算特征值和特征向量
    Eigen::EigenSolver<Eigen::MatrixXd> solver(A);
    
    // 特征值
    Eigen::VectorXd eigenvalues = solver.eigenvalues().real();
    
    // 特征向量
    Eigen::MatrixXd eigenvectors = solver.eigenvectors().real();

    return 0;
}

6. SVD分解：

#include <Eigen/Dense>

int main() {
    Eigen::MatrixXd A(3, 2);
    A << 1, 2,
         3, 4,
         5, 6;

    // 进行奇异值分解
    Eigen::JacobiSVD<Eigen::MatrixXd> svd(A, Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV);
    
    // U, S, V分别是左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵
    Eigen::MatrixXd U = svd.matrixU();
    Eigen::MatrixXd S = svd.singularValues().asDiagonal();
    Eigen::MatrixXd V = svd.matrixV();

    return 0;
}

这些示例只是Eigen库提供功能的冰山一角。Eigen库在文档中提供了详细的教程和示例，你可以根据你的具体需求查阅文档：Eigen文档