洛谷P1147 连续自然数和

问题描述理解

给定正整数M，寻找所有连续的正整数序列，序列的累加和等于M，且每个序列至少包含两个数。输出需按序列起始数字升序排列，每行包含起始和结束数字。

数学原理分析

连续正整数序列的和可通过等差数列求和公式表示。设序列起始数为a，长度为k，则和S满足：
[ S = \frac{k \times (2a + k - 1)}{2} ]
给定S=M，需解方程：
[ M = \frac{k \times (2a + k - 1)}{2} ]
变形后得到a的表达式：
[ a = \frac{2M/k - k + 1}{2} ]
要求a为正整数，需满足以下条件：

• ( 2M/k - k + 1 )为偶数
• ( k \leq \sqrt{2M} )
• ( a > 0 )

算法设计思路

双指针法
维护滑动窗口[l, r]，动态调整窗口范围使窗口内和等于M。若当前和小于M，扩大右边界；若大于M，缩小左边界。

数学推导法
枚举可能的序列长度k（2 ≤ k ≤ √(2M)），检查是否存在整数a满足条件。

代码实现解析

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int main() {
    LL n;
    cin >> n;
    LL r = 2, l = 1;
    LL sum = l + r;
    while (l <= n / 2) {
        if (sum < n) {
            r++;
            sum += r;
        } else if (sum > n) {
            sum -= l;
            l++;
        } else {
            cout << l << ' ' << r << endl;
            sum -= l;
            l++;
        }
    }
}

关键点

• 初始化：l=1, r=2，sum初始为l + r。
• 循环条件：l不超过n/2，避免无效遍历。
• 动态调整：根据sum与n的关系移动指针，输出满足条件的区间。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(M)，最坏情况下需遍历到M/2。
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数空间。

边界条件与优化

• 输入范围：确保M ≥ 3（最小有效输入为3，序列1+2）。
• 提前终止：当l超过n/2时终止循环。
• 数学优化：结合数学推导筛选可能的k值，减少枚举次数。

示例验证

输入M=10000时，部分输出：

18 142
297 328
388 412
1998 2002

验证1998到2002的和：
[ 1998 + 1999 + 2000 + 2001 + 2002 = 10000 ]

扩展思考

• 大数据处理：若M范围扩大到1e12，数学方法需优化枚举k的范围，仅检查M的因数。
• 多解顺序：双指针法天然保证按起始数升序输出。
• 序列长度限制：可扩展问题，限制序列长度在特定范围内求解。