数据结构与算法之美n---递归_n的递归-优快云博客

递归

递推公式：

$f (n) = f (n - 1) + 1 ，其中 f (1) = 1$
针对上面的递推公式，很容易写出递归代码:

int f(int n){
	if(n==1) return 1;
	return f(n-1)+1;
}

递归需要满足的三个条件

一个问题的解可以分解为几个子问题的解
子问题就是数据规模更小的问题
这个问题与分解后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
存在递归终止条件

如果编写递归代码

小例子：
假如这里有 n 个台阶，每次你可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？如果有 7 个台阶，你可以 2，2，2，1 这样子上去，也可以 1，2，1，1，2 这样子上去，总之走法有很多，那如何用编程求得总共有多少种走法呢？
用公式表示：
$f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$
思路：第一类是第一步走了 1 个台阶，另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后，n-1 个台阶的走法加上先走 2 阶后，n-2 个台阶的走法。
寻找终止条件：
当有一个台阶时，我们不要再继续递归，就只有一种走法。所以 f(1)=1；n=2 时，f(2)=f(1)+f(0)。如果递归终止条件只有一个 f(1)=1，那 f(2) 就无法求解了。所以除了 f(1)=1
这一个递归终止条件外，所以，我们可以把 f(2)=2 作为一种终止条件，表示走 2 个台阶，有两种走法，
一步走完或者分两步来走。
得出完整的公式：
$f (n) = f (n - 1) + f (n - 2)$
$f (1) = 1$
$f (2) = 2$
写出最终的递归代码：

int f(int n){
	if(n==1)
		return 1;
	if(n==2)
		return 2;
	f(n)=f(n-1)+f(n-2);
}

总结：写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

递归要警惕堆栈溢出

每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。
因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事
先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。所以，如果最大深度比较
小，比如 10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。

递归要警惕重复计算

为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。
优化下刚才的例子：

public int f(int n) {
	if (n == 1) return 1;
	if (n == 2) return 2;
	// hasSolvedList 可以理解成一个 Map，key 是 n，value 是 f(n)
	if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
		return hasSovledList.get(n);
	}
	int ret = f(n-1) + f(n-2);
	hasSovledList.put(n, ret);
	return ret;
}

过多的函数调用比较耗时

改为非递归的方式

将例子2改为非递归的方式，仍然使用刚才的公式：

int f(int n){
	if(n==1) return 1;
	if(n==2) return 2;
	int ret=0;
	int pre=2;
	int prepre=1;
	for(int i=3;i<=n;i++){
		ret=pre+prepre;
		prepre=pre;
		rep=ret;
		return ret;
	}
}