王道论坛机考系列——图论之最短距离

最新推荐文章于 2025-05-07 20:00:00 发布

GorMing

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分类专栏：数据结构王道机考系列

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/mingyf/article/details/86501511

本文介绍了图论中的最短路径问题，重点讲解了Floyd和Dijkstra两种算法。Floyd算法适用于全源最短路径问题，通过迭代更新找到最短路径，时间复杂度为O(n^3)。Dijkstra算法用于求解单源最短路径，文中提到了初次实现的常见误区。此外，还讨论了带权边的最短路径问题及其解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

王道论坛机考系列——图论之最短距离

最短距离——Floyd算法（解决全源）

寻找图中某两个特定节点之间的最短路径的长度。
图使用邻接矩阵edge[i][j]表示，edge[i][j]最初始的时候表示的是从节点i不经过任何节点到节点j的距离，如果不存在则设置为无穷大。那么从节点i开始可以经过节点l再到节点j，此时需要比较edge[i][l]+edge[l]][j]与edge[i][j]的大小，如果前者比较小，那么edge[i][j]的值需要更换一下（其中edge[i][l]表示从i到l不经过任何节点的距离，edge[l][j]表示从l到j不经过任何中间节点的距离），换做更一般的情况，当从i到j的中间节点数量增多时，可以使用ans[k][i][j]表示从节点i开始只经过小于等于k的节点到达j节点时的最短路径。计算的过程只需要从k等于1到n计算图中所有节点i到节点j之间的距离， ans[0][i][j]表示从i到j的直接距离。

使`cpp描述短发可以表示如下所示：

for (int k = 1; k <= n; k++) {
   
   
    //  计算只经过小于等于k的节点到达j节点时的最短路径
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
   
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
   
   
            //  遍历所有的i,j
            if (ans[k-1][i][k] == INT_MAX || ans[k-1][k][j] == INT_MAX) {
   
   
                //  表示经过前k-1个节点时，i或者j不与k相通
                ans[k][i][j] = ans[k-1][i][j];
                // 保持原值，即从i到j经过k个节点和经过k-1个节点最终得到的结果是一样的
                continue;  //继续执行程序
            }

            if (ans[k-1][i][j] == INT_MAX ||
                ans[k-1][i][k] + ans[k-1][k][j] < ans[k-1][i][j])
                ans[k][i][j] = ans[k-1][i][k] + ans[k-1][k][j];
            else
                ans[k][i][j] = ans[k-1][i][j];
        }
    }
}

上面的方法中使用ans[k-1][i][j]的值来推导得到ans[k][i][j]的值时，值得注意的是ans[k][i][k] 和 ans[k][k][j]的值与 ans[k-1][i][k]和 ans[k-1][k][j]的值相同。所以程序更新为以下的内容，程序的运行结果与上面的运行结果是一样的，成功的将需要使用三位数组来解决的问题变成了只需要使用二维数组就可以解决的问题：

for (int k = 1; k <= n; k++) {
   
   
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
   
   
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
   
   
            if(ans[i][k] == INT_MAX || ans[k][j] == INT_MAX)
                continue;
            if (ans[i][j] == INT_MAX || ans[i][k] + ans[k][j] < ans[i][j])
                    ans[i][j] = ans[