二分图性质 一个图如果是二分图，那么这个图不存在奇环,反之也成立

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博客介绍了二分图的性质，即一个图若为二分图，则不存在奇环，反之若图不存在奇环，则该图为二分图。
二分图性质   一个图如果是二分图，那么这个图不存在奇环,反之也成立
二分图性质：不含奇环的证明。
Harris-H的博客
05-21 4553
二分图性质：不含奇环。 证明：反证法。 假设存在一个奇环：v1,v2,v3…v2k−1,k∈N+v_1,v_2,v_3\dots v_{2k-1},k\in N^+v1​,v2​,v3​…v2k−1​,k∈N+ 任意相邻两点有边连接，且v1,v2k−1v_1,v_{2k-1}v1​,v2k−1​有一条边相邻。 假设v1v_1v1​属于VxV_xVx​集合，依次类推v2∈Vy,v3∈Vx…v_2\in V_y,v_3\in V_x\dotsv2​∈Vy​,v3​∈Vx​… 可以知道编号为奇数的结点都属于VxV
图(环套树...奇环)
越看越喜欢啊
04-07 959
ACM：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_39778570/article/details/83187443 题目：https://nanti.jisuanke.com/t/36676 样例输入 3 1 2 3 2 3 5 1 3 4 样例输出 1 2 3 分析：这是一个环套树模型。我们只要求解出整个图上的一点就可求解整个图了。 所以我们从环上一点下手. 设环上的边为c...
HDU - 3478 Catch（判奇环/二分图）
weixin_33953249的博客
07-11 183
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3478 题意 给一个无向图和小偷的起点，小偷每秒可以向相邻的点出发，问有没有一个时间点小偷可能出现在任何点。 分析 首先图得要是联通的，由于是无向的，那么只需记录图中是否存在悬挂点（度为0），存在的话就不联通了，输出NO。只要图是二分图，小偷就不可能在某一时刻可能出现在任意位置，因为如果是二分图，在移动时...
Catch（HDU-3478）
Alex_McAvoy的博客
11-19 1389
Problem Description A thief is running away! We can consider the city where he locates as an undirected graph in which nodes stand for crosses and edges stand for streets. The crosses are labeled fr...
HDU 3118 Arbiter
HJ921004的博客
08-26 199
Arbiter Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)Memory Limit: 131072/131072 K (Java/Others)Total Submission(s): 1332Accepted Submission(s): 664 Problem Description Arbiter is a kind of s...
无向联通图的二分染色与存在奇环的性质分析
Uniontake
08-04 939
题引 题解及思路 题中给出了无向图的两种存在形状 二分染色 和 存在奇环 首先我们需要证明的是两者是互斥的。 二分图定义 ：是这样一个图，其顶点可分为两集合X和Y，所有的边关联的两顶点中，恰一个属于Ｘ，另一个属于Ｙ。同一集合的结点不相邻。 证明：假设二分图中的环是奇数环。 设一个环，x1，x2，x3，，，，x(2*k-1)，k>=1且为整数。相邻两点有边连接，x1与x(2...
模板 - 二分图（包含全套常用定理性质）
繁凡さん的博客
07-31 1054
整理的算法模板合集： ACM模板 目录染色法增广路的性质一些二分图的概念和定理二分图最大匹配匈牙利算法二分图匹配模型的两个要素二分图最小点覆盖的一个要素DAG的最小路径点覆盖DAG的最小可重复路径点覆盖最小可重复路径点覆盖模板 二分图： 如果一张无向图 (V,E)(V,E)(V,E)存在点集A,BA,BA,B，满足 ∣A∣,∣B∣≥1|A|,|B|≥1∣A∣,∣B∣≥1，A∩B=∅A∩B=∅A∩B=∅，A∪B=VA∪B=VA∪B=V，且对于 x,y∈Ax,y∈Ax,y∈A 或x,y∈Bx,y∈Bx,y∈B
二分图及其匹配算法——最大匹配数（最小覆盖数）、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配
Tham 在思索中前行！
06-05 6157
§1图论点、边集和二分图的相关概念和性质 §2二分图最大匹配求解 匈牙利算法、Hopcroft-Karp算法 §3二分图最小覆盖集和最大独立集的构造 §4二分图最小路径覆盖求解 §5二分图带权最优匹配求解 Kuhn-Munkers算法 §6小结 每章节都详细地讲解了问题介绍，算法原理和分析，算法流程，算法实现四部分内容，力求彻底解决问题。  
二分图大讲堂——彻底搞定最大匹配数（最小覆盖数）、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配
27Up的博客
02-25 574
二分图大讲堂——彻底搞定最大匹配数（最小覆盖数）、最大独立数、最小路径覆盖、带权最优匹配 文本内容框架： §1图论点、边集和二分图的相关概念和性质 §2二分图最大匹配求解 匈牙利算法、Hopcroft-Karp算法 §3二分图最小覆盖集和最大独立集的构造 §4二分图最小路径覆盖求解 §5二分图带权最优匹配求解 Kuhn-Munkers算法 §6小结 每章节都详细地讲解了问题介绍...
匈牙利算法与KM算法在二分图匹配中的应用
资源摘要信息:"匈牙利算法和KM算法简介.pptx"这一资料系统性地介绍了图论中两个重要的匹配算法——匈牙利算法与KM（Kuhn-Munkres）算法，重点围绕二分图的基本概念、最大匹配问题、完全匹配的定义以及如何通过增广...
图论--二分图--二分图的定义及其判断定
日拱一卒,功不唐捐
10-27 4085
定义： 如果一张无向图的N个节点（N>=2）可以分成A B两个非空子集，其中A∩B=Ø，并且在同一集合内的点之间没有相连的边，则称这张无向图为二分图。A，B分别成为这个图的左部和右部。 定理： 一张无向图是二分图，当且仅当图中不存在奇环（长度为奇数的环）。 证明： 下面用反证法来证明。 假设X中的顶点x1与x2是邻接的，那UX1，X1X2，X2U就构成了一个环，这个环的长度为奇数；...
Catch----二分图的判定与奇环的判定
wk476855的专栏
08-11 1696
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3478 注： 二分图的判定（染色法） 二分图与奇环的关系： 如果一图是二分图，那么它一定没有奇环。如果一图没有奇环的话，那么它可以是二分图。 源代码： #include #include #define N 120000 #define M 1020000 typedef struc
HDU3478 【判奇环/二分图的性质】
weixin_30293135的博客
01-18 282
题意： 给你一幅图，给你一个起点，然后问你存不存在一个时刻，所有点可以在那个时刻到达。 思路： 这幅图首先是联通的； 如果出现奇数环，则满足在某一时刻都可能到达； 然后判断奇数环用二分图性质搞也是神奇... #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #include<bits/stdc++.h> us...
【复习图论】如何找出一个强连通图的奇环
weixin_33832340的博客
10-29 805
2019独角兽企业重金招聘Python工程师标准>>> ...
一般图最大匹配（奇环处理） 带花树算法
lcl1234567890lcl的博客
11-18 554
P6113 【模板】一般图最大匹配 匈牙利算法最大的问题在于无法处理带奇环的图，如果存在奇环，那么程序会T掉 带花树算法就是用于处理奇环的问题 #include <bits/stdc++.h> #define inf 0x7fffffff #define ll long long //#define int long long //#define double long double #define re register int #define void inline void #define
二分图多重匹配问题
weixin_30826761的博客
07-12 124
首先诚挚感谢BYvoid大神博客里提供的好题和数据 此为线性规划与网络流24题的第七题。 «问题描述：假设一个试题库中有n道试题。每道试题都标明了所属类别。同一道题可能有多个类别属性。现要从题库中抽取m 道题组成试卷。并要求试卷包含指定类型的试题。试设计一个满足要求的组卷算法。«编程任务：对于给定的组卷要求，计算满足要求的组卷方案。«数据输入：由文件input.txt提供输入数据。文件第1行有2...
Python 数据结构与算法——二分图（bipartite graph）
03-22 8572
如上为一个二分图的具体实例，意味着在该图中，节点（Vertices）被分为两个集合，而所有的边（Edge）都只存在于两个集合之间（不存在两个集合内部）。如何用相关数据结构对这个二分图进行表示呢。我们可能会从图结构方面、或反映图像之间映射关系的某个函数开始思考。但本质上说，这里映射关系只不过是各元素（0, …, n-1）与其位置（0, …, n-1）之间的关联性。而位置不正是array、vector或
【python数据结构】二分图、拓扑排序、并查集
original_recipe的博客
07-21 417
1.判断是否为二分图【leetcode785】 如果可以用两种颜色对图中的节点进行着色，并且保证相邻的节点颜色不同，那么这个图就是二分图。 class Solution: def isBipartite(self, graph: List[List[int]]) -> bool: color = {} for node in range(len(graph)): if node not in color:
二分图不存在奇数环
最新发布
05-19
### 二分图不存在奇数环的原因及证明 #### 原因分析 二分图是一种特殊的图结构，其顶点可以划分为两个互不相交的子集 \( X \) 和 \( Y \)，使得每一条边都连接一个属于 \( X \) 的顶点和一个属于 \( Y \) 的顶点。这种划分特性决定了二分图中无法存在奇数长度的环。 #### 证明过程 为了证明二分图中不存在奇数环，可以从以下几个方面展开： 1. **基于二分图定义的矛盾推导** 如果在一个二分图中存在一个奇数环，则可以通过遍历该环来验证是否存在违反二分图定义的情况。设环上的节点依次为 \( x_1, x_2, ..., x_{2k-1}, x_{2k} \)，其中 \( k \geq 1 \)[^2]。按照二分图的性质，\( x_1 \in X \)，则 \( x_2 \in Y \)，依此类推，直到最后一个节点 \( x_{2k-1} \) 应当位于集合 \( X \) 中。然而，如果 \( x_{2k-1} \) 连接到 \( x_1 \)，这就意味着 \( x_1 \) 同时与另一个来自同一集合的节点相连，从而违背了二分图的定义。 2. **通过颜色交替法验证** 可以利用深度优先搜索（DFS）方法对二分图进行染色操作。初始状态下，任意选取一个未访问过的节点并将其标记为一种颜色（例如红色）。对于与其相邻的所有节点，均应标记为另一种颜色（例如蓝色），以此类推继续扩展到整个图。如果在整个过程中发现某个节点及其邻接节点具有相同颜色，则说明当前路径形成了一个奇数环，进而表明这不是一个有效的二分图[^3]。 3. **数学归纳法的应用** 对于任何给定大小的二分图，都可以尝试采用数学归纳法来进行严格证明。假设所有规模小于等于 \( n \) 的二分图都不含奇数环成立；现在考虑增加一个新的节点以及若干条新边形成更大规模的二分图时，只要新增加的部分仍然满足原有二分图属性即可保持结论不变。具体实现细节涉及复杂度较高但理论上可行[^1]。 ```cpp #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int h[N], e[2 * N], ne[2 * N], idx; int n, m; int color[N]; void add(int x, int y){ e[idx] = y; ne[idx] = h[x]; h[x] = idx++; } bool dfs(int u, int c){ color[u] = c; for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]){ int j = e[i]; if (!color[j]){ if (!dfs(j, 3 - c)) return false; } else if (color[j] == c) return false; } return true; } int main(){ cin >> n >> m; memset(h, -1, sizeof h); for (int i = 0; i < m; ++i){ int x, y; cin >> x >> y; add(x, y), add(y, x); } bool flag = false; for (int i = 1; i <= n && !flag; ++i){ if (!color[i]){ if (!dfs(i, 1)){ flag = true; } } } if(flag) cout << "No"; else cout << "Yes"; return 0; } ``` 以上代码片段展示了如何判断一个无向图是否为二分图的过程，同时也间接体现了关于“二分图不含奇数环”的理论依据之一——即通过对图进行合理染色能够有效检测出潜在冲突情况的存在与否。 --- ####
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