贝叶斯机器学习（一）

本系列主要是贝叶斯机器学习相关知识的学习笔记。

第一讲：概率论回顾，贝叶斯公式，共轭先验

• “贝叶斯规则” 是来自于对于概率分布的一些基本操作。下面举一个简单的例子

例子

整个空间是$\Omega$，$A_i$ 是第i列（随便定义的），$B_i$ 是第i行（同理，随便定义的）

• 在这个空间里分布着一些点。我们随机的且均匀的从这些点里取出一个点。
• 那么这个概率计算是一个简单的数数。
  $$P(x\in A_1)=\frac{\#A_1}{\#\Omega },P(x\in B_1)=\frac{\#B_1}{\#\Omega }$$
• 那$P(x\in A_1|x\in B_1)$表示什么呢？它表示在已知该点属于$B_1$的情况下，它属于$A_1$的概率。这就是 条件概率。
  $$P(x\in A_1|x\in B_1)=\frac{\#(A_1\cap B_1)}{\#B_1}=\frac{\#(A_1\cap B_1)}{\#\Omega }\frac{\#\Omega }{\#B_1}=\frac{P(x\in A_1\&x\in B_1)}{P(x\in B_1)}$$

更一般的表述

• $A$和$B$代表两个事件，然后
  $$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}\Rightarrow P(A|B)P(B)=P(A,B)$$
• 对于上述的一些符号，我们有如下命名，
  $P(A|B)$：条件概率
  $P(A,B)$：联合概率
  $P(B)$：边缘概率
• 这最后一个听起来似乎不是很好理解，因为它仅仅是“B的概率”。我们可以通过之前同样数数的方式来解释$P(B)$作为概率是如果通过整合（边缘化）来得到的。
  $$P(B)=\frac{\#B}{\#\Omega }=\frac{{\sum }_{i=1}^3\#(A_i\cap B)}{\#\Omega }=\sum _{i=1}^3\frac{\#(A_i\cap B)}{\#\Omega }=\sum _{i=1}^{3}P(A_i,B)$$
• 一般而言，这个求和以及对于每个$A_i$都是有严格的要求的。要求彼此没有交集而且它们的并集等于整个空间（$\Omega$）。

贝叶斯规则

• 我们简单的从几步来推导一下
  $$P(A,B)=P(A|B)P(B)$$
  由对称性我们有
  $$P(A,B)=P(B|A)P(A)$$
  因此
  $$P$$