8.28 考试第二题（DP + 矩阵快速幂）

2.方块游戏(block.c/cpp/pas)(标准题目见段大神的---> http://blog.youkuaiyun.com/dy0607/article/details/52347717)
【问题描述】
到了游乐场后，ZQ 为了感谢你，承诺免费请你打俄罗斯方块游戏，在经过你细致的观
察后，发现这个游戏只有如下两种方块：
当然，这两种形状的方块上的每一小块是一样大的。
然而，好动脑筋的 ZQ 想知道在宽为 n，高为 2 的界面内，有多少种消除方法。
例如，当 n=2 时，只有这么 5 种消除方法：
于是作为 ZQ 的伙伴，请你计算出消除方块的方案数 s。
【输入格式】
输入文件 block.in 第一行一个正整数 n。
【输出格式】
输出文件 block.out 一行一个整数 s，所求的方案数对 1000000007 取模后的结果。
【样例输入】
2
【样例输出】
5
【数据规模】
对于 30%的数据，保证 0≤n≤10000。
对于 50%的数据，保证 0≤n≤100000000。

显然本题很容易看出递推式，f[x] =  f[x-1] + 4*f[x-2] + 2*f[x-3]

但是呢，即便用滚动数组，我们也无法完成10^18数据规模的计算。。。

显然。。。我们用矩阵快速幂进行优化

f[x-1] f[x-2] f[x-3]   ---->    f[x]   f[x-1]   f[x-2]

  0         0         0                   0         0        0

  0         0         0                   0         0        0

发现：要用f[x-3], f[x-2], f[x-1]递推f[x], 我们把幂矩阵设成这个样子：

1 1 0

4 0 1

2 0 0

第1列的三个数即为要乘的数字，用来递推出f[x]的，另外的两个1，是用来平移f[x-1]与f[x-2]到前面的，可以自己乘一下试一试。。。

矩阵快速幂我还要多加练习，今天知道是用它却不知道怎么写，

代码上！

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define MOD 1000000007
#define LL unsigned long long

struct Matrix{
	LL m[3][3];
	
	Matrix(int d){
		memset(m, 0, sizeof(m));
		if(d == 1){
			m[0][0] = m[0][1] = m[1][2] = 1;
			m[1][0] = 4; m[2][0] = 2;
		}
		if(d == 2){
			m[0][0] = m[1][1] = m[2][2] = 1;
		}
	}
	
	Matrix operator *(const Matrix &x)const{
		Matrix ret(3);
		for(int i = 0; i < 3; i++)
		  for(int j = 0; j < 3; j++)
		    for(int k = 0; k < 3; k++) ret.m[i][j] = (ret.m[i][j] + (m[i][k] * x.m[k][j]) % MOD) % MOD;
		
		return ret;
	}
};

Matrix power(Matrix a, long long num){
	Matrix ret(2);
	if(num == 1) return a;
	
	while(num){
		if(num & 1) ret = ret * a;
		a = a*a;
		num >>= 1;
	}
	
	return ret;
}

int main(){
	freopen("block.in", "r", stdin);
	freopen("block.out", "w", stdout);
	
	long long n;
	scanf("%lld", &n);
	
	if(n == 0 || n == 1){
		printf("1\n");
		return 0;
	}
	if(n == 2){
		printf("5\n");
		return 0;
	}
	
	Matrix g = 1;
	Matrix ans = power(g, n-2);
	
	LL P = ans.m[0][0]*5 + ans.m[1][0] + ans.m[2][0];
	printf("%llu\n", P % MOD);
	
	return 0;
}

更多解释见段大神和松AK的矩阵快速幂加递推。。。

（松AK： blog.youkuaiyun.com/frods）

（段大神: blog.youkuaiyun.com/dy0607）

I believe I can fly!!!