组合数学

斯特林数

(一)第一类斯特林数

$s1(n,m)$表示n个元素排成m个圆排列的个数，记作$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right]$

a.递推公式与性质

​ $\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right]=\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right]+\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right]\ast (n-1)$

​ 新来的元素既可以自己成为一个圆排列，又可以放在任意一个已有元素的后面。

b.和乘方&下降幂的关系、和乘方&上升幂的关系

​ $n^{\underline{k}}={\sum }_{i=0}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i$

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲k=\sum^k_{i=0}{…

证明1：（数学归纳法）

当k=0时显然成立，当k>0时

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 3: n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲k=(n-k+1)*n^\un…

​ $=(n-k+1)\ast {\sum }_{i=0}^{k-1}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]\ast (-1{)}^{k-1-i}\ast n^i$

​ $=n\ast {\sum }_{i=0}^{k-1}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]\ast (-1{)}^{k-1-i}\ast n^i-(k-1)\ast {\sum }_{i=0}^{k-1}[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}]\ast (-1{)}^{k-1-i}\ast n^i$

​ $=n\ast {\sum }_{i=1}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}\right]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^{i-1}-(k-1)\ast {\sum }_{i=0}^{k-1}[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}]\ast (-1{)}^{k-1-i}\ast n^i$

​ $={\sum }_{i=1}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}\right]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i-{\sum }_{i=1}^k(k-1)\ast [\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}]\ast (-1{)}^{k-1-i}\ast n^i$ //注意i=0时若k=1则$k-1=0$，否则$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]=0$；i=k时$\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]=0$

​ $={\sum }_{i=1}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}\right]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i+{\sum }_{i=1}^k(k-1)\ast [\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i$

​ $={\sum }_{i=1}^k([\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}]+(k-1)\ast [\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}])\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i$

​ $={\sum }_{i=0}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right]\ast (-1{)}^{k-i}\ast n^i$

证明2：（数学归纳法）（类似的就不写那么详细了）

当k=0时显然成立，当k>0时

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲k=(n+k-1)*n^\ov…

​ $=(n+k-1)\ast {\sum }_{i=0}^{k-1}\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]\ast n^i$

​ $={\sum }_{i=1}^k\ast \left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i-1}\right]\ast n^i+{\sum }_{i=1}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right]\ast (k-1)\ast n^i$

​ $={\sum }_{i=0}^k\left[\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right]\ast n^i$

现实意义：将下降幂用n^i展开，其系数绝对值为第一类斯特林数，且正负性交错，而将上升幂展开，其系数即为第一类斯特林数

c.求第n行的第一类斯特林数

为了方便用上升幂的柿子来求。柿子本来是这样的KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲k=\prod^{n+k-1}…，但因为要算第n行，变成这样KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲n=\prod^{n-1}_{…，其中x是一个未知数

注意到上升幂展开，其系数即为第一类斯特林数，换言之就是要把第二个柿子的每个数看成一个多项式乘起来，最后的系数就是答案。nice可以做到$O(n^{2}logn)$啦。下面就不用看了

用脑子考虑分治，多项式初始长度为2，合并一次长度翻倍

$T(n)=2T(\frac{n}{2})+O(nlogn)$ 所以时间复杂度为$O(nlo{g}^{2}n)$

进一步优化

因为KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{2n}=(\prod^{n-…，如果能够通过${\prod }_{i=0}^{n-1}x+i$得到${\prod }_{i=0}^{n-1}x+n+i$（这东西=KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 8: =(x+n)^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲n），则$T(n)=T(\frac{n}{2})+O(nlogn)$ 时间复杂度$O(nlogn)$

我们设前者得到的多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^{L-1}ai\ast x^i$，则多项式$f(x+n)={\sum }_{i=0}^{L-1}ai\ast (x+n{)}^i$即为所求

$f(x+n)={\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i\ast (x+n{)}^i={\sum }_{i=0}^{L-1}{a}_i\ast {\sum }_{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\ast n^{i-j}\ast x^j$ //二项式展开

$={\sum }_{i=0}^{L-1}({\sum }_{j=i}^{L-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})\ast n^{j-i}\ast a_j)\ast x^i$

问题在如何处理出$c_i={\sum }_{j=i}^{L-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i}\right)\ast n^{j-i}\ast a_j$

$=\frac{1}{i!}{\sum }_{j=i}^{L-1}\frac{j!}{(j-i)!}\ast n^{j-i}\ast a_j$

令$g(j)=j!\ast a_j,h(j)=\frac{n^j}{j!}且当j\le 0时=0$

$=\frac{1}{i!}{\sum }_{j=0}^{L-1}g(j)\ast h(j-i)$

事实上这已经是一个经典问题了，但是我忘了，所以再推一遍：

不希望h的定义域有负数，人为向右移L位：$=\frac{1}{i!}{\sum }_{j=0}^{L-1}g(j)\ast h(j-i+L)$

把总长为2L的h反过来：$=\frac{1}{i!}{\sum }_{j=0}^{L-1}g(j)\ast h(i-j+L-1)$

就这样卷积完以后，再左移L-1位就可以了

总的实现思路：

1：递归求解KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{\lfloor{n\over…的多项式

2：通过KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{\lfloor{n\over…的多项式得到KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 16: (x+{n\over 2})^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{\lfloor{n\over…的多项式

3：两式相乘得到KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 3: x^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲{\lfloor{n\over…

4：若n为奇数，再乘上x+n

我的代码遇上卡常的基本过不去

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int _=1e2;
const int maxn=(1<<18)+_;
const int mod=167772161;
inline int ad(int x,int y){return x>=mod-y?x-mod+y:x+y;}
inline int re(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
inline int mu(int x,int y){return (LL)x*y%mod;}
inline int qp(int x,int y){int r=1;while(y){if(y&1)r=mu(r,x);x=mu(x,x),y>>=1;}return r;}
inline int dv(int x,int y){return mu(x,qp(y,mod-2));}

int fac[2*maxn],fac_inv[2*maxn];
void yu()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<2*maxn;i++)fac[i]=mu(i,fac[i-1]);
	fac_inv[2*maxn-1]=qp(fac[2*maxn-1],mod-2);
	for(int i=2*maxn-2;i>=0;i--)fac_inv[i]=mu(fac_inv[i+1],i+1);
}

namespace J
{
	int Re[4*maxn];
	void NTT(int *a,int n,int op)
	{
		for(int i=0;i<n;i++)
			if(i<Re[i])swap(a[i],a[Re[i]]);
		
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			int gn=qp(3,(mod-1)/(i<<1));
			if(op==-1)gn=qp(gn,mod-2);
			for(int j=0;j<n;j+=(i<<1))
			{
				int g=1;
				for(int k=0;k<i;k++,g=mu(g,gn))
				{
					int k1=a[j+k],k2=mu(a[j+k+i],g);
					a[j+k]=ad(k1,k2);
					a[j+k+i]=re(k1,k2);
				}
			}
		}
		if(op==-1)
		{
			int inv=qp(n,mod-2);
			for(int i=0;i<n;i++)a[i]=mu(a[i],inv);
		}
	}
	int n,m,L,A[4*maxn],B[4*maxn]; 
	void main()
	{
		int tn=n,tm=m;
		m=n+m-1;for(n=1,L=0;n<=m;n<<=1)L++;
		for(int i=0;i<n;i++)Re[i]=(Re[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
		for(int i=tn;i<n;i++)A[i]=0;
		for(int i=tm;i<n;i++)B[i]=0;
		NTT(A,n,1),NTT(B,n,1);
		for(int i=0;i<n;i++)A[i]=mu(A[i],B[i]);
		NTT(A,n,-1);
	}
}using namespace J;

int len,a[2*maxn],b[4*maxn];
void solve(int n)
{
	if(n==1){len=2,a[1]=1;return ;}
	solve(n/2);
	
	J::n=len,J::m=2*len;
	for(int i=0,t=1;i<len;i++,t=mu(t,n/2))
		A[i]=mu(fac[i],a[i]),B[i]=0,B[i+len]=mu(t,fac_inv[i]);
	reverse(B,B+2*len);
	J::main();
	for(int i=0;i<len;i++)b[i]=mu(A[i+len-1],fac_inv[i]);
	
	J::n=len,J::m=len;
	for(int i=0;i<len;i++)
		A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	J::main();
	len=J::m;
	for(int i=0;i<len;i++)a[i]=A[i];
	
	
	if(n&1)
	{
		for(int i=0;i<len;i++)b[i]=mu(a[i],n-1); b[len+1]=0;
		for(int i=len;i>=1;i--)a[i]=a[i-1]; a[0]=0;
		len++;
		for(int i=0;i<len;i++)a[i]=ad(a[i],b[i]);
	}
}

int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n); yu();
	solve(n);
	for(int i=0;i<=n;i++)printf("%d ",a[i]);
	
	return 0;
}

(二)第二类斯特林数

$s2(n,m)$表示n个元素划分到m个集合的方案数，记作$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}$

a.递推公式与性质

​ $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1}\right\}+\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m}\right\}\ast m$

​ 新来的元素可以自己成为一个集合，或者放到任意一个已有集合里

b.和乘方&下降幂的关系、和乘方&上升幂的关系

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 31: …}{k\brace i}*n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i 也可写作$n^k={\sum }_{i=0}^m\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right\}\ast i!\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 42: …}*(-1)^{k-i}*n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i

证明1：（数学归纳法）

当k=0时显然成立，当k>0时

​ $n^k$=$n^{(k-1)}\ast n$

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 36: …k-1\brace i}*n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i*(n-i+i)

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 37: …-1\brace i}*(n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{i+1}+i*n^\unde…

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 36: …k-1\brace i}*n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲{i+1}+\sum^{(k-…

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 34: …1\brace i-1}*n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i+\sum^{k}_{i=1… //注意i=0时$i=0$，i=k时$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{i}\right\}=0$

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 18: …sum^{k}_{i=1}n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i*({k-1\brace i…

​ KaTeX parse error: Got function '\underline' with no arguments as superscript at position 18: …sum^{k}_{i=0}n^\̲u̲n̲d̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i*{k\brace i} //注意i=0且k>0时$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right\}=0$

从组合意义理解$n^k={\sum }_{i=0}^n\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\right\}\ast i!\ast \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)$

​ 左边：k个球放进n个有序盒子，随便放

​ 右边：选i个盒子出来放，把盒子当集合把球划分，实际上盒子有序，再乘i!

证明2：（数学归纳法）（同样类似）

当k=0时显然成立，当k>0时

​ $n^k$=$n^{(k-1)}\ast n$

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 49: …(-1)^{k-1-i}*n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i*(n+i-i)

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 45: …}*(-1)^{k-i}*n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i-\sum^{k}_{i=1…

​ KaTeX parse error: Got function '\overline' with no arguments as superscript at position 39: …}*(-1)^{k-i}*n^\̲o̲v̲e̲r̲l̲i̲n̲e̲ ̲i

c.求第n行的第二类斯特林数

​ $\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}=\frac{1}{m!}{\sum }_{i=0}^m(-1{)}^{(m-i)}\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})\ast m^n$ n是常数，$(-1{)}^{(m-i)}$和$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)$分别弄一个多项式然后FFT卷起来即可

证明（利用广义容斥原理）

​ 令$f(m)=\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}\ast m!$ 意为把n个球放恰好m个有序盒子的方案数

​ 令$g(m)=m^n$ 意为把n个球放至多m个有序盒子中

​ 则$g(m)={\sum }_{i=0}^{m}h(i)f(i)$，考虑容斥系数，对于计算g(j)时f(i)对g(j)的贡献次数，i个盒子可以按顺序放在总共j个位置中的不同位置，即组合数，哦，原来是二项式反演啊

​ 则$g(m)={\sum }_{i=0}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\right)f(i)$

​ 则$f(m)={\sum }_{i=0}^m(-1{)}^{(m-i)}\ast (\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})\ast g(i)$

​ 即$\left\{\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right\}\ast m!={\sum }_{i=0}^m(-1{)}^{(m-i)}\ast \{\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i}\}\ast m^n$