4、常微分方程积分：显式与隐式方法的对比及ROS23P算法详解

常微分方程积分：显式与隐式方法的对比及ROS23P算法详解

在常微分方程（ODE）的求解中，我们常常会遇到各种挑战，尤其是在处理刚性系统时。本文将深入探讨显式和隐式ODE积分器的特点，并详细介绍ROS23P算法的原理、实现及应用。

显式ODE积分器的局限性

显式ODE积分器在求解刚性系统时存在稳定性问题。例如，当系统的特征值差异较大时，为了覆盖整个时间区间，需要大量的积分步骤。以RKF45方法为例，在某些情况下，即使进行10,000步积分，也只能达到t = 0.33。这表明显式积分器在处理刚性系统时，稳定性受到极大限制。

隐式ODE积分器的引入

为了克服显式积分器的稳定性问题，我们引入了隐式ODE积分器。其中，Rosenbrock或线性隐式Runge–Kutta（LIRK）方法是一类常用的隐式积分器。

显式与隐式RK方法对比

考虑自治函数f（不显式依赖于时间）和方程 $\frac{dx}{dt} = f(x)$。显式RK方法的公式为：
$k_1 = f (x_k)$
$k_2 = f (x_k + h\phi_{2,1}k_1)$
$k_3 = f (x_k + h(\phi_{3,1}k_1 + \phi_{3,2}k_2))$
…
$k_q = f (x_k + h(\phi_{q,1}k_1 + \phi_{q,2}k_2 + \cdots + \phi_{q,q - 1}k_{q - 1}))$
$x_{k + 1} = x_k + h\sum_{i = 1}^{q} \omega_i k_i$

而一般的隐式公式可以表示为：