UVa 1521 GCD Guessing Game-优快云博客

题目描述

$Paul\texttt{Paul}$ 和 $Andrew\texttt{Andrew}$ 在玩一个猜数游戏： $Andrew\texttt{Andrew}$ 需要猜出 $Paul\texttt{Paul}$ 的年龄，已知年龄是 $1$ 到 $n$ 之间的整数。 $Andrew\texttt{Andrew}$ 每次可以猜一个数 $x$ （ $\leq x \leq n$ ）， $Paul\texttt{Paul}$ 会告诉他 $gcd⁡(x,age)\gcd(x, \text{age})$ 的值。

游戏的目标是用最少的猜测次数确定 $Paul\texttt{Paul}$ 的年龄。对于给定的 $n$ ，求 $Andrew\texttt{Andrew}$ 采用最优策略时，最坏情况下需要的猜测次数。

样例分析：当 $n = 6$ 时，最优策略只需要 $2$ 次猜测。

题目分析

这是一个典型的信息论与博弈论结合的问题。每次猜测 $x$ 后，根据得到的 $gcd⁡(x,age)\gcd(x, \text{age})$ 值，我们可以排除一些不可能的年龄值。

关键观察：

每次猜测实际上是在测试目标年龄是否包含某些质因子
最优策略应该让每次猜测获得尽可能多的信息，从而快速缩小候选范围
问题转化为：如何用最少的查询来区分所有可能的质因数分解模式

解题思路

核心洞察

经过分析发现，这个问题可以通过质数分组策略高效解决。基本思想是：

将 $1$ 到 $n$ 的所有数按照其质因数分解模式进行分组
每次猜测实际上是在测试目标数是否包含某个质数组合的因子
通过合理的质数组合，可以用最少的猜测覆盖所有可能的情况

算法设计

我们采用双指针贪心算法：

预处理：使用埃拉托斯特尼筛法求出所有不超过 $n$ 的质数
双指针分组：
- 设置两个指针 head 和 tail，分别指向质数数组的首尾
- tail 从最大的质数开始（不超过 $n$ ）
- 对于每个当前的大质数 prime[tail]，尽量乘上更多的小质数 prime[head]，但保证乘积不超过 $n$
- 每完成一组这样的质数组合，就计数一次猜测
- 然后 tail 指针前移，处理下一个大质数

算法正确性

这种方法的正确性基于以下原理：

每个质数组合对应一个需要测试的"查询模式"
通过大质数 $\times$ 小质数的组合方式，可以最大化每次查询的信息增益
最终的分组数量就是在最坏情况下需要的最小猜测次数

复杂度分析

时间复杂度： $\log \log n)$ ，主要来自质数筛法
空间复杂度： $O (n)$ ，用于存储质数标记和质数数组

代码实现

// GCD Guessing Game
// UVa ID: 1521
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-25
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 10005;
vector<int> primes;
bool vis[MAX_N];

// 预处理：使用筛法生成所有质数
void initPrimes() {
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    for (int i = 2; i < MAX_N; i++) {
        if (!vis[i]) {
            primes.push_back(i);
            for (int j = i + i; j < MAX_N; j += i) {
                vis[j] = true;
            }
        }
    }
}

int main() {
    initPrimes();
    int n;
    while (cin >> n) {
        int head = 0;
        int tail = primes.size() - 1;
        int ans = 0;
        
        // 调整tail到不超过n的最大质数
        while (tail >= 0 && primes[tail] > n) tail--;
        
        // 双指针分组策略
        while (head <= tail) {
            int product = primes[tail];  // 从当前最大的质数开始
            // 尽量乘上更多的小质数，但保证乘积不超过n
            while (head < tail && product * primes[head] <= n) {
                product *= primes[head];
                head++;
            }
            ans++;   // 完成一组猜测
            tail--;  // 处理下一个大质数
        }
        
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}