UVa 11600 Masud Rana

原创于 2025-11-21 08:12:20 发布 · 572 阅读

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#算法 #c++ #青少年编程

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题目描述

在孟加拉国有 $n$ 个城市，所有城市之间都有双向道路相连，总共有 $n×(n−1)2\frac{n \times (n-1)}{2}$ 条道路。其中许多道路被邪恶势力控制。 $Rana\texttt{Masud Rana}$ 是孟加拉国反情报部门的一名勇敢间谍，他正在执行一项新任务。

城市 $a$ 能安全到达城市 $b$ 的条件是：存在一条从 $a$ 到 $b$ 的路径，且该路径上的所有道路都不受邪恶势力控制。初始时有 $m$ 条道路是安全的。 $Rana\texttt{Masud Rana}$ 的任务是摧毁一些道路上的邪恶势力，确保所有城市都能通过安全道路相互到达。

$Rana\texttt{Masud Rana}$ 采用了一种特殊策略：

他从城市 $1$ 开始任务
每天早上，他从当前所在城市随机选择一个其他城市（通过直接连接的道路）
在访问过程中，如果该道路有邪恶势力，他会摧毁它们使道路变得安全
到达新城市后，他在那里停留到第二天早上
然后检查是否所有城市都能安全互达，如果已完成则任务结束，否则重复此过程

我们需要计算 $Rana\texttt{Masud Rana}$ 完成任务的期望天数。

输入格式

第一行包含整数 $T$ ( $\leq 100$ ) 表示测试用例数量。

每个测试用例：

第一行：两个整数 $N$ ( $\leq N \leq 30$ ) 和 $M$ ( $\leq M \leq \frac{N \times (N-1)}{2}$ )
接下来 $M$ 行：每行两个整数 $a$ 和 $b$ ，表示城市 $a$ 和 $b$ 之间的道路初始就是安全的

输出格式

对于每个测试用例，输出 Case #: X.XXXXXX，其中 # 是用例编号，X.XXXXXX 是期望天数（误差不超过 $10^{-6}$ ）。

题目分析

问题本质

这个问题可以建模为一个随机游走和连通分量合并的过程：

初始状态：根据给定的安全道路，城市形成若干个连通分量
随机过程：每次从当前城市随机选择另一个城市移动
状态转移：
- 如果移动到同一连通分量内的城市：状态不变，花费 $1$ 天
- 如果移动到不同连通分量的城市：合并两个连通分量，花费 $1$ 天
终止条件：所有城市在同一个连通分量中

关键观察

状态简化：在同一个连通分量内，具体在哪个城市不重要，重要的是该分量的大小
概率计算：
- 移动到大小为 $s$ 的连通分量的概率为 $sn−1\frac{s}{n-1}$
- 移动到同一连通分量内的概率为 $当前分量大小−1n−1\frac{\text{当前分量大小}-1}{n-1}$
期望递推：这是一个典型的马尔可夫过程，可以用动态规划求解

解题思路

我们使用记忆化搜索（ $DFS\texttt{DFS}$ 配合 $memoization\texttt{memoization}$ ）来解决这个问题：

状态表示： $(c u rre n tS i ze, o t h er C o m p s)$
- $c u rre n tS i ze$ ：当前所在连通分量的大小
- $o t h er C o m p s$ ：其他连通分量的大小列表（排序后）
状态转移：
- 基础情况：如果没有其他连通分量，返回 $0$ （任务已完成）
- 移动到同一分量：概率 $psame=currentSize−1n−1p_{same} = \frac{currentSize-1}{n-1}$ ，状态不变
- 移动到其他分量：对于每个大小为 $s$ 的其他分量，概率 $\frac{s}{n-1}$ ，新状态为 $\setminus \{s\})$
期望方程：
设 $E$ 为当前状态的期望天数，则：
$p_{same} \times (1 + E) + \sum p_i \times (1 + E_i)$
整理得：
$\frac{p_{same} + \sum p_i \times (1 + E_i)}{1 - p_{same}}$
其中 $E_i$ 是移动到第 $i$ 个其他分量后的期望天数。

算法复杂度

状态数量：连通分量的划分数，对于 $\leq 30$ 是可接受的
每个状态：最多有 $n - 1$ 个转移
使用 $map\texttt{map}$ 记忆化：避免重复计算

代码实现

// Masud Rana 
// UVa ID: 11600
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-20
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 35;
int n, m;
int parent[MAXN];
int compSize[MAXN];

int find(int x) { return parent[x] == x ? x : parent[x] = find(parent[x]); }

void unite(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x == y) return;
    if (compSize[x] < compSize[y]) swap(x, y);
    parent[y] = x;
    compSize[x] += compSize[y];
}

map<pair<int, vector<int>>, double> dp;

double solve(int currentSize, vector<int> otherComps) {
    if (otherComps.empty()) return 0.0;
    sort(otherComps.begin(), otherComps.end());
    auto state = make_pair(currentSize, otherComps);
    if (dp.count(state)) return dp[state];
    int totalChoices = n - 1;
    double sameCompProb = (currentSize - 1.0) / totalChoices;
    double expectedOther = 0.0;
    for (int i = 0; i < otherComps.size(); i++) {
        double prob = otherComps[i] * 1.0 / totalChoices;
        vector<int> newOtherComps(otherComps);
        int newCurrentSize = currentSize + otherComps[i];
        newOtherComps.erase(newOtherComps.begin() + i);
        expectedOther += prob * (1.0 + solve(newCurrentSize, newOtherComps));
    }
    double result = (sameCompProb + expectedOther) / (1.0 - sameCompProb);
    return dp[state] = result;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    for (int caseNum = 1; caseNum <= T; caseNum++) {
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            parent[i] = i;
            compSize[i] = 1;
        }
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            unite(a, b);
        }
        map<int, int> compMap;
        int startCompRoot = find(1);
        for (int i = 1; i <= n; i++) compMap[find(i)]++;
        int currentSize = compMap[startCompRoot];
        vector<int> otherComps;
        for (auto& it : compMap)
            if (it.first != startCompRoot)
                otherComps.push_back(it.second);
        dp.clear();
        double expectedDays = solve(currentSize, otherComps);
        cout << "Case " << caseNum << ": " << fixed << setprecision(8) << expectedDays << endl;
    }
    return 0;
}