UVa 10968 KuPellaKes

题目描述

在古代，$\text{Koorosh}$ 发明了时间机器并穿越到 $\text{Basm}$ 国王的时代，不幸被抓住。为了活命，他需要解决一个问题：给定一个由 $n$ 个城市和 $m$ 条道路组成的领土 $\text{KuPellaKes}$，要求删除最少的道路，使得每个城市都有偶数个相邻城市，并且每个城市至少保留一个相邻城市。初始图中最多有两个城市的相邻城市数量为奇数。

输入格式

输入包含多个测试用例。每个测试用例第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$，分别表示城市数量和道路数量。接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $i$ 和 $j$，表示城市 $i$ 和城市 $j$ 之间有一条双向道路。输入以一行三个零结束。

输出格式

对于每个测试用例，输出需要删除的最少道路数量，如果无法完成任务，输出 Poor Koorosh。

题目分析

这是一个图论问题，我们需要在满足特定度数条件的情况下删除最少的边。关键观察点如下：

1. 度数要求：每个顶点的度数必须为偶数且至少为 $1$
2. 初始条件：图中最多有两个奇数度顶点
3. 操作方式：通过删除边来调整顶点度数

解题思路

根据图论中的握手引理，无向图中所有顶点度数之和为偶数，因此奇数度顶点的数量必须为偶数。题目已经保证最多有两个奇数度顶点，我们只需要考虑以下三种情况：

情况一：没有奇数度顶点

如果图中所有顶点的度数都是偶数：

• 检查是否所有顶点都有至少一个邻居（度数 $\ge 1$）
• 如果满足条件，不需要删除任何边，输出 $0$
• 如果有孤立顶点（度数为 $0$），输出 Poor Koorosh

情况二：恰好有两个奇数度顶点

设这两个奇数度顶点为 $u$ 和 $v$，我们需要找到从 $u$ 到 $v$ 的一条路径，通过删除这条路径上的边来调整度数：

• 度数变化规律：

  • 删除路径上的一条边会使两个端点的度数各减少 $1$
  • 对于路径上的中间顶点，会减少 $2$ 条边（进入边和离开边）

• 约束条件：

  • 起点 $u$ 和终点 $v$：原始度数必须 $>1$（删除 $1$ 条边后度数 $\ge 1$）
  • 中间顶点：原始度数必须 $>2$（删除 $2$ 条边后度数 $\ge 1$）

• 解决方案：

  • 使用 $\text{BFS}$ 寻找从 $u$ 到 $v$ 的最短路径
  • 在 $\text{BFS}$ 过程中，只允许访问度数 $>2$ 的顶点作为中间顶点
  • 路径长度即为需要删除的边数

情况三：其他情况

如果奇数度顶点数量不是 $0$ 或 $2$，根据题目约束这不会发生，但为了完整性，输出 Poor Koorosh。

算法复杂度

• 时间复杂度：$O(n+m)$，每个测试用例使用 $\text{BFS}$ 遍历图
• 空间复杂度：$O(n+m)$，用于存储图和距离信息

代码实现

// KuPellaKes
// UVa ID: 10968
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-11-17
// UVa Run Time: 0.020s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int n, m;
    while (cin >> n >> m && (n || m)) {
        vector<vector<int>> graph(n + 1);
        vector<int> degree(n + 1, 0);
        
        // 构建图和计算度数
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int u, v;
            cin >> u >> v;
            graph[u].push_back(v);
            graph[v].push_back(u);
            degree[u]++;
            degree[v]++;
        }
        
        // 统计奇数度顶点
        vector<int> oddVertices;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            if (degree[i] % 2 != 0)
                oddVertices.push_back(i);
        
        // 情况一：没有奇数度顶点
        if (oddVertices.size() == 0) {
            bool allHaveNeighbors = true;
            for (int i = 1; i <= n; i++)
                if (degree[i] == 0) {
                    allHaveNeighbors = false;
                    break;
                }
            cout << (allHaveNeighbors ? "0" : "Poor Koorosh") << endl;
        }
        // 情况二：恰好有两个奇数度顶点
        else if (oddVertices.size() == 2) {
            int u = oddVertices[0], v = oddVertices[1];
            
            // 检查起点和终点是否满足度数条件
            if (degree[u] <= 1 || degree[v] <= 1) {
                cout << "Poor Koorosh" << endl;
                continue;
            }
            
            // BFS寻找最短路径
            vector<int> dist(n + 1, -1);
            queue<int> q;
            dist[u] = 0;
            q.push(u);
            
            while (!q.empty()) {
                int current = q.front();
                q.pop();
                
                for (int neighbor : graph[current])
                    if (dist[neighbor] == -1)
                        // 中间顶点必须度数>2，终点v直接允许
                        if (neighbor == v || degree[neighbor] > 2) {
                            dist[neighbor] = dist[current] + 1;
                            q.push(neighbor);
                        }
            }
            
            cout << (dist[v] != -1 ? to_string(dist[v]) : "Poor Koorosh") << endl;
        }
        // 情况三：其他情况
        else
            cout << "Poor Koorosh" << endl;
    }
    return 0;
}

总结

本题的关键在于理解度数变化的规律和路径删除对度数的影响。通过 $\text{BFS}$ 寻找满足约束的最短路径，我们能够高效地解决这个问题。算法充分利用了题目给出的特殊条件（最多两个奇数度顶点），使得解决方案既简洁又高效。