UVa 1189 Find the Multiple

原创已于 2025-10-20 11:16:57 修改 · 637 阅读

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#算法

于 2025-10-17 08:13:31 首次发布

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题目描述

给定一个正整数 $n$ ，编写程序找到一个非零的倍数 $m$ ，使得 $m$ 的十进制表示仅包含数字 $0$ 和 $1$ 。题目保证 $n$ 不超过 $200$ ，并且存在一个对应的 $m$ ，其十进制表示不超过 $100$ 位。

输入格式
输入文件可能包含多个测试用例。每行包含一个 $n$ 的值（ $\leq n \leq 200$ ）。以一行包含 $0$ 结束输入。

输出格式
对于每个 $n$ ，输出一行对应的 $m$ 。 $m$ 的十进制表示不能超过 $100$ 位。如果对于给定的 $n$ 有多个解，输出任意一个均可。

样例输入

样例输出

10
100100100100100100
111111111111111111

题目分析

问题理解

我们需要找到一个数 $m$ ，满足：

$m$ 是 $n$ 的倍数（ $\neq 0$ ）
$m$ 的十进制表示中只包含字符 0 和 1
$m$ 的位数不超过 $100$

直接枚举的困难

最直接的想法是枚举所有由 0 和 1 组成的数字，从小到大检查是否能被 $n$ 整除。但是，可能的数字数量是 $2^{100}$ 级别，这显然不可行。

关键思路：模运算 + $BFS\texttt{BFS}$

我们可以利用模运算来避免处理大数，同时使用广度优先搜索（ $BFS\texttt{BFS}$ ）来按长度递增的顺序搜索解。

核心观察：

我们只关心数字模 $n$ 的余数
如果两个数字模 $n$ 的余数相同，那么它们后续添加相同的数字（0 或 1）后，余数的变化规律相同
因此，对于每个余数，我们只需要保留第一次达到该余数的数字（这保证我们找到的是最小的解）

$BFS\texttt{BFS}$ 状态设计

状态：当前数字模 $n$ 的余数
初始状态：余数为 $1$ （对应数字 1）
状态转移：
- 在当前数字末尾加 0：新余数 = $当前余数 \times 10) \bmod n$
- 在当前数字末尾加 1：新余数 = $当前余数 \times 10 + 1) \bmod n$
终止条件：找到余数为 $0$ 的状态

算法正确性

由于余数范围是 $0$ 到 $n - 1$ ，最多有 $n$ 个不同状态， $BFS\texttt{BFS}$ 会在有限步内结束
题目保证存在不超过 $100$ 位的解，因此不会无限循环
$BFS\texttt{BFS}$ 按长度递增搜索，保证找到的是最小的解

复杂度分析

时间复杂度： $O (n)$ ，每个余数最多访问一次
空间复杂度： $O (n)$ ，用于存储访问标记和队列

代码实现

// Find The Multiple
// UVa ID: 1189
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-16
// UVa Run Time: 0.000s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net

#include <iostream>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

string findMultiple(int n) {
    // 特殊情况：n=1 时直接返回 "1"
    if (n == 1) return "1";
    
    // BFS 队列，存储 (余数, 对应的数字字符串)
    queue<pair<int, string>> q;
    // 访问标记数组，记录每个余数是否已被访问
    vector<bool> visited(n, false);
    
    // 从数字 1 开始搜索
    q.push({1 % n, "1"});
    visited[1 % n] = true;
    
    while (!q.empty()) {
        // 取出队首元素
        int rem = q.front().first;
        string numStr = q.front().second;
        q.pop();
        
        // 如果余数为 0，找到解
        if (rem == 0) {
            return numStr;
        }
        
        // 尝试在当前数字末尾加 0
        int newRem = (rem * 10) % n;
        if (!visited[newRem]) {
            visited[newRem] = true;
            q.push({newRem, numStr + "0"});
        }
        
        // 尝试在当前数字末尾加 1
        newRem = (rem * 10 + 1) % n;
        if (!visited[newRem]) {
            visited[newRem] = true;
            q.push({newRem, numStr + "1"});
        }
    }
    
    return ""; // 理论上不会执行到这里
}

int main() {
    int n;
    // 读取输入直到遇到 0
    while (cin >> n && n != 0) {
        cout << findMultiple(n) << endl;
    }
    return 0;
}