【数字题1】股票的最大收益

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【问题描述】

问题是这样的，假设有一只股票a，a[1...n]代表股票a在第1到第n天所对应的股价，试找到一对值i，j，满足1<=i<=j<=n，且a[j]-a[i]取得最大值。如下表

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
a	2	7	1	8	2	8	4	5	9	0	4	5

用白话说，就是你已经知道了某只股票在若干天中的价格，现在需要做的是在某一天买进，在另一天卖出，使得获得收益最大。按照上表的情况，我们可以在第3天买入，第9天卖出，这样获得的收益是a[9]-a[3]=9-1=8，在其他任何的时间点买入卖出，所获得的收益都不大于8，所以对于上表数据，8就是问题的最终答案。当然你可能设想在第9天买入，在第10天卖出，此时的收益是a[10]-a[9]=0-9=-9，此时所获得的收益的绝对值，达到了最大为9，但是这是一个负收益，并非我们想要的结果。

对于a[1...n]，最大正收益并非总可以得到，例如a[1...9]={9,8,7,6,5,4,3,2,1}，或者a[9]={0,0,0,0,0,0,0,0,0}，对于这样的行情，你在任何不同的两天，进行买入和卖出操作，所得到的都是负收益，或者0，对于此种情况，我们允许i=j，也就是买进的当天卖出，但是不允许i>j的情况出现，也就是先买入，然后才能卖出。下面我就给出这个问题的几个解法。

【解法一】

最容易想到的就是该方法，通过穷举a[1...n]中所有天数组和(i,j)(1<=i<=n,i<=j<=n)，分别计算a[j]-a[i]的值，所有结果中的最大者，就是最终结果。由于要穷举n个数据的2组和，所以整个算法的时间复杂度为O(n^2)。

【解法二】

O(n^2)的时间复杂度显然不能令我们满意，对于此问题是否有更优的解法呢。对于a[1...n]，假设存在k(1<=k<n)，将数组分割为两部分a1[1...k]，a2[k+1...n]，如果我们已知了a1的最大正收益p1和a2的最大正收益p2，那么是否可以计算得到a的最大正收益p呢。

这里需要分三种情况考虑，对于a的最大正收益p，如果买入和卖出时间，均在1～k范围内，那么p=p1，如果买入和卖出时间均在k+1～n范围内，那么p=p2；还有一种情况，就是在1～k范围内某点i买进，在k+1～n范围内的某点j卖出，此时a的最大正收益就等于k+1～n范围内的股价最高点与1～k范围内股价最低点的值的差。所以实际上p的值就等于p1，p2，a[j]-a[i]三者的最大值。利用这个结论，我们就可以利用分治法，将1～n区间内的问题，分解为两个小区间的子问题，通过综合两个小区间子问题的求解结果，得到最终答案。利用递归算法实现代码如下：

int Max(int a, int b, int c){
	if(a >= b && a >= c)
	{
		return a;
	}
	if(b >= a && b >= c)
	{
		return b;
	}
	if(c >= a && c >= b)
	{
		return c;
	}
}
typedef struct{
	int profit;
	unsigned int pmin;//股价最低日期
	unsigned int pmax;//股价最高日期
}ret;

ret subRoutine(const int array[], unsigned int begin, unsigned int end) {
	unsigned int middle;
	ret r, r1, r2;
	if(begin == end)
	{
		r.profit = 0;
		r.pmin = begin;
		r.pmax = begin;
		return r;
	}
	middle = (begin + end) / 2;

	r1 = subRoutine(array, begin, middle);
	r2 = subRoutine(array, middle + 1, end);

	r.pmin = array[r1.pmin] < array[r2.pmin] ? r1.pmin : r2.pmin;
	r.pmax = array[r1.pmax] > array[r2.pmax] ? r1.pmax : r2.pmax;
	r.profit = Max(r1.profit, r2.profit, array[r2.pmax] - array[r1.pmin]);

	return r;
}
int SingleSellProfit(const int array[], size_t array_size) {
	ret r = subRoutine(array, 0, array_size -1);
	return r.profit;
}

这里需要注意，递归的终止条件就是将a分解为单元素数组时。对于单元素数组，例如a[2]=7，他的最大正收益是a[2]-a[2]=0，股价最高点是a[2]=7，股价最低点也是a[2]=7。对于一个子区间的求解结果，因为无法确定其是与前面的子区间，还是后面的子区间结合生成更大的区间，所以计算过程中，要将该区间的股价最高和最低点都返回。下图说明了使用分治法求解文章开头给出数组的递归调用过程。其中相邻层之间连接线中的数据内容为{下层区间的最大正收益，下层区间的股价最小值，下层区间的股价最大值}

该算法求解一次买卖问题的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(logn)。

【DP】

假设，我们已经求得a[1...k]中所能获得的最大正收益p，当在该数组的尾部，添加a[k+1]时，我们如何得到a[1...k+1]的最大正收益呢。

对于a[k+1]也有三种情况需要分别处理。

第一种，a[k+1]是卖出点，对于此种情况，假设a[1...k]中的股价最低点为i(1<=i<=k)，那么用a[k+1]-a[i]，就得到了以a[k+1]为卖出点所能得到的最大正收益，如果该值大于p，那么a[k+1]-a[i]就是数组a[1...k+1]中的最大正收益。

第二种，a[k+1]是买入点，如果a[k+1]是全局最大正收益的可能买入点，那么其对应的卖出点j>=k+1，对于a[1...k+1]而言，p依然是该区间所能得到的最大正收益。但是a[k+1]必须要小于a[1...k]区间中的股价最低点a[i](1<=i<=k)，否则的话就有a[j]-a[i]>a[j]-a[k+1]，这与a[k+1]，是全局最大正收益的买入点矛盾。

第三种，如果不满足上述两种情况，则a[k+1]既不是买入点，也不是卖出点。

有了对上面三种情况的分析，就可以给出该问题的递推算法步骤。

• 令k从1到n递增
• 在k==1时，记录当前的最大正收益p=0，区间股价最低点i=1，递增k。
• 判断a[k]-a[i]与p的大小关系，如果a[k]-a[i]>p，令p=a[k]-a[i]，递增k。
• 如果a[k]-a[i]<=p，判断a[k]与a[i]的大小关系，如果a[k]<a[i]，令i=k，递增k。
• 依次递推，直到数组尾部为止，p即是所求的最大正收益。

int SingleSellProfit(const int array[], size_t array_size)
{
	unsigned int i, pmin;
	int profit = 0;

	for(i = 0, pmin = 0; i < array_size; ++i) {
		if(array[i] - array[pmin] > profit)
		{
			profit = array[i] - array[pmin];
			continue;
		}
		if(array[i] < array[pmin])
		{
			pmin = i;
		}
	}
	return profit;
}

该算法可以在O(n)时间复杂度，O(1)空间复杂度情况下，解决该问题。