【数字题1】股票的最大收益

本文介绍了如何找到一组股票价格中的最大正收益。首先提出了一种简单的O(n^2)解法,然后通过分治法优化到O(n)时间复杂度,并详细解释了分治策略。最后,使用动态规划的方法来解决此问题,给出了递推算法的步骤。

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【转载】http://blog.youkuaiyun.com/joylnwang/article/details/7078530

【问题描述】

问题是这样的,假设有一只股票a,a[1...n]代表股票a在第1到第n天所对应的股价,试找到一对值i,j,满足1<=i<=j<=n,且a[j]-a[i]取得最大值。如下表


 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112
 a271828459045
用白话说,就是你已经知道了某只股票在若干天中的价格,现在需要做的是在某一天买进,在另一天卖出,使得获得收益最大。按照上表的情况,我们可以在第3天买入,第9天卖出,这样获得的收益是a[9]-a[3]=9-1=8,在其他任何的时间点买入卖出,所获得的收益都不大于8,所以对于上表数据,8就是问题的最终答案。当然你可能设想在第9天买入,在第10天卖出,此时的收益是a[10]-a[9]=0-9=-9,此时所获得的收益的绝对值,达到了最大为9,但是这是一个负收益,并非我们想要的结果。

对于a[1...n],最大正收益并非总可以得到,例如a[1...9]={9,8,7,6,5,4,3,2,1},或者a[9]={0,0,0,0,0,0,0,0,0},对于这样的行情,你在任何不同的两天,进行买入和卖出操作,所得到的都是负收益,或者0,对于此种情况,我们允许i=j,也就是买进的当天卖出,但是不允许i>j的情况出现,也就是先买入,然后才能卖出。下面我就给出这个问题的几个解法。

【解法一】

最容易想到的就是该方法,通过穷举a[1...n]中所有天数组和(i,j)(1<=i<=n,i<=j<=n),分别计算a[j]-a[i]的值,所有结果中的最大者,就是最终结果。由于要穷举n个数据的2组和,所以整个算法的时间复杂度为O(n^2)。

【解法二】

O(n^2)的时间复杂度显然不能令我们满意,对于此问题是否有更优的解法呢。对于a[1...n],假设存在k(1<=k<n),将数组分割为两部分a1[1...k],a2[k+1...n],如果我们已知了a1的最大正收益p1和a2的最大正收益p2,那么是否可以计算得到a的最大正收益p呢。

这里需要分三种情况考虑,对于a的最大正收益p,如果买入和卖出时间,均在1~k范围内,那么p=p1,如果买入和卖出时间均在k+1~n范围内,那么p=p2;还有一种情况,就是在1~k范围内某点i买进,在k+1~n范围内的某点j卖出,此时a的最大正收益就等于k+1~n范围内的股价最高点与1~k范围内股价最低点的值的差。所以实际上p的值就等于p1,p2,a[j]-a[i]三者的最大值。利用这个结论,我们就可以利用分治法,将1~n区间内的问题,分解为两个小区间的子问题,通过综合两个小区间子问题的求解结果,得到最终答案。利用递归算法实现代码如下:

int Max(int a, int b, int c){
	if(a >= b && a >= c)
	{
		return a;
	}
	if(b >= a && b >= c)
	{
		return b;
	}
	if(c >= a && c >= b)
	{
		return c;
	}
}
typedef struct{
	int profit;
	unsigned int pmin;//股价最低日期
	unsigned int pmax;//股价最高日期
}ret;

ret subRoutine(const int array[], unsigned int begin, unsigned int end) {
	unsigned int middle;
	ret r, r1, r2;
	if(begin == end)
	{
		r.profit = 0;
		r.pmin = begin;
		r.pmax = begin;
		return r;
	}
	middle = (begin + end) / 2;

	r1 = subRoutine(array, begin, middle);
	r2 = subRoutine(array, middle + 1, end);

	r.pmin = array[r1.pmin] < array[r2.pmin] ? r1.pmin : r2.pmin;
	r.pmax = array[r1.pmax] > array[r2.pmax] ? r1.pmax : r2.pmax;
	r.profit = Max(r1.profit, r2.profit, array[r2.pmax] - array[r1.pmin]);

	return r;
}
int SingleSellProfit(const int array[], size_t array_size) {
	ret r = subRoutine(array, 0, array_size -1);
	return r.profit;
}
这里需要注意,递归的终止条件就是将a分解为单元素数组时。对于单元素数组,例如a[2]=7,他的最大正收益是a[2]-a[2]=0,股价最高点是a[2]=7,股价最低点也是a[2]=7。对于一个子区间的求解结果,因为无法确定其是与前面的子区间,还是后面的子区间结合生成更大的区间,所以计算过程中,要将该区间的股价最高和最低点都返回。下图说明了使用分治法求解文章开头给出数组的递归调用过程。其中相邻层之间连接线中的数据内容为{下层区间的最大正收益,下层区间的股价最小值,下层区间的股价最大值}


该算法求解一次买卖问题的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(logn)。

【DP】

假设,我们已经求得a[1...k]中所能获得的最大正收益p,当在该数组的尾部,添加a[k+1]时,我们如何得到a[1...k+1]的最大正收益呢。

对于a[k+1]也有三种情况需要分别处理。

第一种,a[k+1]是卖出点,对于此种情况,假设a[1...k]中的股价最低点为i(1<=i<=k),那么用a[k+1]-a[i],就得到了以a[k+1]为卖出点所能得到的最大正收益,如果该值大于p,那么a[k+1]-a[i]就是数组a[1...k+1]中的最大正收益。

第二种,a[k+1]是买入点,如果a[k+1]是全局最大正收益的可能买入点,那么其对应的卖出点j>=k+1,对于a[1...k+1]而言,p依然是该区间所能得到的最大正收益。但是a[k+1]必须要小于a[1...k]区间中的股价最低点a[i](1<=i<=k),否则的话就有a[j]-a[i]>a[j]-a[k+1],这与a[k+1],是全局最大正收益的买入点矛盾。

第三种,如果不满足上述两种情况,则a[k+1]既不是买入点,也不是卖出点。

有了对上面三种情况的分析,就可以给出该问题的递推算法步骤。

  • 令k从1到n递增
  • 在k==1时,记录当前的最大正收益p=0,区间股价最低点i=1,递增k。
  • 判断a[k]-a[i]与p的大小关系,如果a[k]-a[i]>p,令p=a[k]-a[i],递增k。
  • 如果a[k]-a[i]<=p,判断a[k]与a[i]的大小关系,如果a[k]<a[i],令i=k,递增k。
  • 依次递推,直到数组尾部为止,p即是所求的最大正收益。
int SingleSellProfit(const int array[], size_t array_size)
{
	unsigned int i, pmin;
	int profit = 0;

	for(i = 0, pmin = 0; i < array_size; ++i) {
		if(array[i] - array[pmin] > profit)
		{
			profit = array[i] - array[pmin];
			continue;
		}
		if(array[i] < array[pmin])
		{
			pmin = i;
		}
	}
	return profit;
}

该算法可以在O(n)时间复杂度,O(1)空间复杂度情况下,解决该问题。


<think>好的,我现在需要帮用户解决一个关于股票投资最大收益的问。用户提到有N天,M只股票,以及一些启动资金,希望计算N天后能获得的最大利益。给出的数据格式是,第一行有三个数字NMK,接下来有5行每行5个数字代表股价。用户希望用C++来处理每一行数据。 首先,我需要明确问的具体要求。题目中的N可能代表天数,M是股票的数量,K可能是初始资金。接下来的数据可能代表每天的股价变化?或者可能每只股票每天的价格?但用户说接下来有5行每行5个数字,这可能对应5天的数据,每行代表当天的5只股票价格。但这里需要确认数据的具体结构。例如,假设M是5,那么每行可能有5只股票价格,共N天的数据? 用户的问类似于股票买卖的最佳时机问,但可能需要考虑多天、多次买卖的情况。通常这类问可以用动态规划来解决,因为需要跟踪每天的资金状态,并选择最优的买卖策略。 接下来,我需要确定输入的具体格式。例如,第一行的三个数字N、M、K分别代表天数、股票数目、初始资金。接下来的N行(可能用户提到的是5行,但可能输入有误,或者示例数据是5行),每行有M个数字,代表当天每只股票价格。 然后,问转化为:在N天内,通过买卖M只股票,如何最大化最终的资金。限制条件是每天最多持有一只股票,或者可以同时持有多只?或者可能每天只能进行一次买卖?这里可能需要进一步假设,因为问描述不够详细。 通常,这类问假设每天可以买卖股票,且没有交易次数限制,但每次交易必须全部买入或卖出。例如,每天可以决定卖出所有持有的股票,然后用所有资金买入某只股票。这种情况下,最优策略可能是在每天选择能带来最大收益股票进行买卖。 例如,动态规划的状态可以定义为第i天持有某只股票最大资金,或者不持有股票最大资金。或者,更简单的情况是,每天将资金全部投入当天增长倍数最大股票。这样,只需要找出每天涨幅最大股票,然后将资金乘以该倍数即可。 假设每天可以卖出之前持有的股票,并买入当天的股票,那么对于第i天,我们计算所有股票价格相对于前一天的价格的涨幅比率,选择涨幅最大的那个,然后将所有资金投入该股票。这样,经过N天后,得到最大收益。 例如,初始资金为K,在第1天,选择当天价格比第0天(初始价格?或者可能题目中的股价数据是每天的,所以需要明确股价的时间结构)这里可能存在歧义。例如,如果输入数据给出的是每天的股价,那么对于第i天,买入股票价格是当天的价格,而卖出则在之后的天数。或者,可能每天的股价是当天的价格,而买卖操作是在当天结束时决定,或者下一天? 这里可能需要明确交易规则。例如,是否允许当天买入并当天卖出?或者必须持有至少一天?或者只能在某天买入,之后的天数卖出? 如果允许当天买入并卖出,那么只要找到当天价格比买入价高的时刻,但这可能导致无限收益,因此通常这类问会限制必须T+1交易,即买入后至少持有一天才能卖出。 假设本的交易规则是:每天只能进行一次操作,要么买入,要么卖出。或者,每天可以先卖出所有持有的股票,然后用所有资金买入当天的股票。这种情况下,最大收益可以通过贪心算法,即每天选择能带来最大增长的股票。 例如,假设每天可以选择将当前资金全部买入某只股票,然后在之后的天数卖出。那么,如何选择买入和卖出的时机? 或者,可能问中的N天之后必须卖出所有股票,因此在最后一天必须卖出,不能持有。这种情况下,我们需要在N天中选择某几天进行买卖,使得最终资金最大。 例如,动态规划的状态可以表示为dp[i][j],表示第i天持有股票j的最大资金,或者不持有任何股票最大资金。 但具体如何建模,需要更多的信息。例如,假设每天可以进行一次交易(买入或卖出),并且只能持有一只股票。那么,状态转移可能如下: - 对于第i天,如果不持有股票,可以选择买入某只股票j,花费当天的价格,资金减少,转换为持有股票j的状态。 - 如果持有股票j,可以在第i天卖出,获得资金增加,转换为不持有状态。 这种情况下,动态规划需要记录每一天的状态:持有或不持有,以及持有哪只股票。但因为M可能较大(例如,M=5),这样的状态可能较多,但计算量可能还是可以接受。 或者,是否存在更高效的方法?例如,对于每一天,计算当前资金买入某只股票后的可能最大收益,或者卖出后的收益。 但这样的方法可能需要考虑每一天的操作,是否买入或卖出。 或者,另一种思路是,因为可以多次买卖,所以每次交易的最佳策略是在价格上升的时候买入后卖出。例如,找到所有价格上升的区间,然后在这些区间进行买卖。这种情况下,可能类似于“无限次交易”的股票,此时最大利润是各上升区间的总和。但这里的问可能更复杂,因为涉及多只股票,而不是单只股票价格波动。 例如,在无限次交易的情况下,对于每只股票,找出所有价格上升的相邻天数的差值之和,然后选择收益最大的那只股票进行操作。但用户的问可能需要同时考虑多只股票的选择,可能每天可以选择不同的股票。 或者,可能最优策略是在每天选择当天买入某只股票,并在之后的天数中卖出,只要有利可图。但如何确定何时买入和卖出? 这个问可能需要更详细的分析。 回到题目,用户给出的输入数据可能结构如下: 第一行是N、M、K,例如N是天数,M是股票数目,K是初始资金。 接下来的N行,每行有M个数字,代表当天各只股票价格。 例如,假设我们有N=3天,M=2只股票,K=1000。然后接下来3行,每行两个数字,代表每天的两只股票价格。 那么,我们的目标是在这3天内进行买卖操作,使得最后一天结束时的资金最大。 现在需要确定交易规则: 1. 每天只能进行一次操作吗?或者可以同时买入和卖出? 2. 是否允许在同一天买入和卖出同一只股票?(即T+0交易) 3. 是否必须卖出所有持有的股票才能买入新的? 4. 是否每次买入必须用全部资金,还是可以部分买入? 通常,这类问假设每次操作必须全仓买入或卖出,即每次买入时将全部资金投入,卖出时全部卖出。这简化了问,使得可以用动态规划来跟踪最大可能的资金。 例如,假设每天可以卖出所有持有的股票,然后用所有资金买入某只股票。这种情况下,最大收益可以通过贪心策略:每天选择当天之后价格最高的那一天卖出,从而获得最大收益。或者,可能更简单的,如果允许当天买入并在之后的任何一天卖出,那么对于每只股票,找出从当前天到之后的某天中的最大价格,计算可能的利润,选择最大的那个。 但是这种情况下,处理多只股票的话,可能比较复杂。 另一种可能的思路是,对于每一天i,我们可以选择买入某只股票j,然后在之后的某一天k卖出,获得利润。要找到这样的i,j,k使得利润最大。但这样的时间复杂度可能较高,特别是当N较大时。 或者,可能存在更优的贪心策略,即每天如果能够通过买卖股票获得更高的收益,则进行操作。 例如,对于每一天,我们计算所有股票在之后的天数中的最高价格,然后选择(最高价格/当前价格最大的那只股票,买入,然后在最高价那天卖出。这可能是一个贪心选择,但需要遍历所有可能的天数和股票。 但这样的策略可能需要考虑多个步骤,而无法保证全局最优,因为可能后面的天数有更好的机会。 因此,这种情况下,动态规划可能更合适。动态规划的状态可以定义为当前持有的现金,以及是否持有股票的状态。但因为可以持有不同股票,状态可能需要记录当前持有哪只股票,或者更简化,因为每次只能持有一只股票,或者可以同时持有多个? 这需要明确题目规则。假设题目规定,同一时间只能持有一只股票。那么,状态可以表示为:当前天数,持有现金的金额,以及是否持有股票(以及是哪只股票)。但这样的状态空间可能太大,特别是当K很大时。但考虑到K可能的值范围,比如如果K在输入中是整数,那么可能无法直接用动态规划处理。 或者,可能题目中的股价都是整数,导致资金只能是整数。但这样的情况下,动态规划的可行性取决于K的大小。如果K非常大,那么动态规划可能不可行。因此,可能需要寻找其他方法。 例如,当每次操作都是全仓买入某只股票,并在之后卖出,那么总资金的变化可以看作是每次乘以一个比率。这种情况下,可能需要找出一系列比率的乘积最大。 比如,假设在第一天买入股票A,然后在第三天卖出,获得r1收益;接着在第四天买入股票B,在第五天卖出,获得r2的收益。总资金是K * r1 * r2。因此,目标就是找出一系列的买入和卖出时机,使得这些比率的乘积最大。 这种情况下,问类似于寻找多个时间段,每个时间段内选择一只股票最大涨幅,然后将这些涨幅相乘。因此,这可以分解为寻找每个时间段的最大涨幅(例如,相邻天数之间),然后取这些涨幅的乘积。 这可能转化为寻找每个时间段中的最大可能涨幅,而不需要关心具体是哪只股票,只要每次选择涨幅最大的那只。 例如,对于每一天i,计算所有股票在第i天到第i+1天之间的涨幅比率(price[i+1]/price[i]),然后选择最大的那个比率。这样,总资金乘以这些最大的比率,就能得到最大收益。 假设允许每天进行一次交易(买入后卖出),那么总的最大收益就是将所有天的最大日涨幅相乘,然后乘以初始资金。例如,如果今天买入某只股票,明天卖出,涨幅是r,那么资金乘以r。这种情况下,总的最大收益是K乘以所有天的r_i的乘积,其中r_i是第i天到第i+1天的最大日涨幅。 但需要注意,这样的假设是否正确。例如,假设我们每天都可以进行一次买入和卖出,即当天买入,当天卖出,那么这样的操作可能无法获得收益,因为价格可能没有变化。或者,可能题目规定必须买入后至少持有一天才能卖出,这样就需要在两天之间操作。 如果题目允许当天买入并在同一天卖出,那么只要存在某只股票当天价格高于买入价,就可以无限次交易,但这显然不符合现实。因此,可能题目中的交易规则是,每次买入必须持有至少一天才能卖出,或者只能在买入后的某天卖出。 这里可能需要假设,每次买入操作是在某一天,卖出操作必须在之后的某一天。因此,每次交易必须占用至少两天的时间。但这样的话,总交易次数可能受天数限制。 比如,如果N天的话,最多可以进行 floor(N/2) 次交易(买入和卖出各占一天)。这可能比较复杂。 或者,题目中的N天是允许进行任意次数的交易,只要买卖天数不重叠。例如,买入在第i天,卖出在第j天(j>i),然后在第k天买入(k >=j+1),依此类推。这种情况下,问类似于股票买卖IV或V问,其中最多可以进行k次交易。但这里没有限制交易次数,而是允许无限次交易,但每次交易必须不重叠。 但题目中的描述并没有给出交易次数的限制,所以可能需要假设可以无限次交易,只要满足买入和卖出的顺序。 这种情况下,可以使用动态规划来解决问。例如,定义两个状态:cash[i]表示第i天结束时,不持有任何股票最大资金;hold[i]表示第i天结束时持有某只股票最大资金。 状态转移方程可能如下: cash[i] = max(cash[i-1], hold[i-1] + price[i]) // 今天不持有,可能昨天也不持有,或者今天卖出 hold[i] = max(hold[i-1], cash[i-1] - price[i]) // 今天持有,可能昨天就持有,或者今天买入 但这里的price[i]可能需要具体到某只股票,而动态规划需要同时考虑所有股票的情况。这会导致状态变得复杂,因为hold的状态需要记录持有哪只股票。但如果允许每天选择不同的股票,那么状态可能需要为每个股票分别考虑。 这会导致状态空间爆炸,尤其是当M较大时。例如,如果有M只股票,那么hold[i]需要记录每只股票对应的最大资金。这样,动态规划的状态转移方程可能变为: cash[i] = max(cash[i-1], max(hold[j][i-1] + price[j][i] for all j)) hold[j][i] = max(hold[j][i-1], cash[i-1] - price[j][i]) 其中,hold[j][i]表示第i天结束时持有第j只股票最大资金。 这样,每个hold[j][i]需要分别计算,而cash[i]则是取所有卖出操作后的最大值。 这可能是一个可行的动态规划方法。例如,对于每一天i,对于每只股票j,计算是否继续持有j或者在i-1天不持有的时候买入j。 然后,cash[i]取前一天cash[i-1]的值,或者前一天持有某只股票并在今天卖出的最大值。 这样,时间复杂度是O(N*M),这在N和M都不大的情况下是可以接受的。例如,如果N是1e5,这可能会超时,但根据题目给出的数据范围,假设输入数据较小的话,这可以处理。 现在回到用户的问,输入的示例数据可能有5行,但根据第一行的N,可能是N行。例如,如果第一行是N=5,M=5,那么接下来5行每行5个数字。 现在需要编写C++代码,处理输入,并输出最大收益。 接下来,我需要考虑具体的实现步骤: 1. 输入N、M、K。例如,第一行三个整数。 2. 输入N天的股价数据,每行M个整数,代表当天的各股票价格。 3. 初始化动态规划数组。例如,使用两个数组:cash和hold。其中,cash[i]表示第i天不持有股票最大资金,hold[i][j]表示第i天持有第j只股票最大资金。但为了节省空间,可以只用两个变量,cash和一个数组 hold_j,因为每一天的状态只依赖于前一天的状态。 因此,可以优化空间复杂度,使用两个变量prev_cash和prev_hold数组(每个元素对应一只股票的持有状态)。 具体步骤如下: - 初始化prev_cash = K(初始资金,不持有任何股票)。 - 初始化prev_hold数组为-INF或者某个极小值,表示初始时不可能持有任何股票,除非在第一天买入。或者,初始时,prev_hold[j] = -infinity,表示无法在未买入的情况下持有股票。或者,在第一天,可以买入股票j,此时花费price[0][j],所以prev_hold[j] = K - price[0][j]。 但可能需要考虑是否允许在第一天买入。 但需要明确,第一天是否可以买入?例如,在动态规划中,第一天i=0,是否可以买入股票j,并在之后的某天卖出? 是的。例如,在第0天买入股票j的价格是price[0][j],持有到第1天卖出,获得price[1][j]的收益。 因此,动态规划的初始条件: prev_cash = K 对于prev_hold数组,初始时,每个股票j的持有状态是:在第0天买入后的现金,即K - price[0][j],但这里可能需要澄清,是否允许买入?例如,假设股票价格必须用资金购买,所以买入股票j的花费是price[0][j],因此,初始时,prev_hold[j] = K - price[0][j](如果允许买入),但实际动态规划中的hold状态应该表示的是当前持有的股票的价值,或者当前的现金? 或者,可能更准确的是,hold[i][j]表示在第i天持有股票j时的最大现金。例如,当买入股票j时,现金减少price[i][j],而卖出时现金增加price[i][j]。 但这样,动态规划的状态转移可能需要重新考虑。 或者,另一种方式是,cash表示当前不持有股票时的最大资金,hold表示当前持有股票时的最大资金(不管哪只股票)。但这样可能无法处理多只股票的情况,因为无法确定哪只股票最优。 因此,正确的做法是,对于每只股票j,维护持有该股票时的最大现金。 所以,动态规划的状态应该是: cash[i]: 第i天结束后,不持有任何股票最大资金。 hold[i][j]: 第i天结束后,持有股票j的最大资金。 状态转移方程: cash[i] = max(cash[i-1], max(hold[i-1][j] + price[i][j]) for all j) // 保持不持有,或者卖出持有的某个股票j,获得当天价格 对于每个股票j,hold[i][j] = max(hold[i-1][j], cash[i-1] - price[i][j]) // 继续持有j,或者在当天买入j(花费当天的价格) 这样,对于每一天i和每只股票j,计算两种情况:继续持有或买入。 初始条件: cash[0] = K (第0天未买入任何股票) hold[0][j] = K - price[0][j] (在第0天买入股票j后的剩余资金,这里假设必须买入整数股?或者问允许买入任意金额?这可能与意有关。) 这可能存在问。例如,在股票交易中,通常买入必须是一整股,但问可能允许以当前资金全部买入股票,例如,可以购买非整数股。或者题目中的股价是每单位的价格,可以购买任意数量的份额。这种情况下,当买入股票j时,将全部资金投入,购买的份额为 cash / price[i][j],之后卖出时获得份额 * price[i+1][j],所以总资金变为 cash * (price[i+1][j] / price[i][j])。这可能与用户的问更相关,因为这样每次全仓买入某只股票,可以最大收益。 例如,假设每天可以选择将所有的钱买入某只股票,然后在之后的某天卖出,得到相应的钱。此时,每次操作相当于将资金乘以一个比率。这种情况下,最优策略是每次选择涨幅最大股票进行买卖。 例如,第i天到第i+1天的涨幅比率最大股票j,即 price[i+1][j]/price[i][j] 最大。如果允许每天进行买卖,那么最优策略是每天全仓买入涨幅最大股票,并在第二天卖出。这样,总资金是K乘以所有每天的涨幅最大比率的乘积。 例如,假设N=3天,那么总共有两天转换:第0天到第1天,第1天到第2天。每天选择最大的比率,然后相乘。 这种情况下,问变得简单,只需遍历每一天的涨幅比率,选择最大的,然后累乘即可。 例如,对于输入数据: N=3,M=2,K=1000 每天的股价: 第0天:股票1价格100,股票2的价格是200 第1天:股票1价格是200,股票2的价格150 第2天:股票1价格是300,股票2的价格是300 那么,第0天到第1天的最大涨幅比率是股票1的200/100=2,或者股票2的150/200=0.75。所以选择股票1,资金变成1000 *2=2000。 第1天到第2天,股票1的300/200=1.5,股票2的300/150=2。选择股票2,资金变成2000*2=4000。最终总资金是4000。 这种情况下,代码可以简化为,对于每一天i(从0到N-2),计算所有股票j的price[i+1][j]/price[i][j],取最大值,然后将当前资金乘以该最大值。 但这样是否正确呢? 这假设每天必须卖出前一天的股票,并买入当天的股票。也就是说,只能进行隔天买卖。比如,第i天买入,第i+1天卖出,然后立即买入当天的股票,再在下一天卖出。这种情况下,每次只能持有一天的时间。这是否允许? 如果题目允许这样做,那么这种贪心策略是正确的,因为每次选择最大的可能涨幅。因为每次操作都是独立的,所以总的最大收益是各次最大涨幅的乘积。 但这是否覆盖了所有可能的更优情况?例如,可能存在某两天之间涨幅不大,但三天之间有更大的累积涨幅。比如,第一天涨幅1.5,第二天涨幅1.5,而第三天的涨幅如果是2,那么总乘积是1.5*1.5=2.25,而如果中间有一天不操作,可能得到更大的收益? 或者,比如,假设股票A在三天的价格100, 150, 300,而股票B的价格100, 50, 300。那么,第一天到第二天的涨幅A是1.5,B是0.5。第二天到第三天的涨幅A是2, B是6。那么,如果第一天买A,第二天卖得150%的资金,然后第二天买B,第三天卖得6倍,总收益1.5*6=9倍。但是如果第一天不操作,第二天买A,第三天卖得300/150=2,总收益是2倍。或者,如果第一天买B,第二天卖会亏,所以不会选择。因此,贪心策略是正确的。 但假设存在这样的情况:某只股票在i到i+2天的涨幅比i到i+1和i+1到i+2的乘积更大。例如,价格1,3,3。则i到i+2的涨幅是3/1=3,而 i到i+1的涨幅是3,i+1到i+2的涨幅是1。总乘积是3*1=3,而直接持有一天到两天后的涨幅是3。在这种情况下,贪心策略的收益与长期持有相同。或者,如果价格1, 2, 4。那么,两天的涨幅是4/1=4,而每天涨幅是2和 2,乘积是4。所以,两种方法结果相同。或者,价格1,3,1:第一天到第二天涨幅3,第二天到第三天是1/3。总乘积是3*(1/3)=1,而如果持有两天,则涨幅是1,所以结果一样。 因此,贪心策略在这种情况下可能不会更差。那么,是否贪心策略总是有效? 是的,因为每次选择最大的可能涨幅,最终的乘积是所有相邻天数的最大涨幅的乘积,而这等于或大于任何其他选择方式。例如,假设某三天内的涨幅为r1和 r2,其中 r1*r2 >= r3(r3是这三天的总涨幅),那么贪心策略会得到r1*r2。或者如果r3 > r1*r2,那么贪心策略可能会选择不进行中间操作,直接持有三天,但如何在这种情况下处理? 例如,假设股票价格在三天内分别是100,200,500。那么,第一到第二天涨幅是2,第二到第三天是2.5,总乘积是2*2.5=5。而三天的总涨幅是5,所以结果相同。因此,贪心策略的结果和长期持有相同。但如果有另一只股票在这三天中的某两天的涨幅更大,那么贪心可能更好。 例如,假设还有另一只股票B的价格100, 300, 150。那么,第一到第二天的涨幅是3,第二到第三天是0.5。而股票A的第一到第三天涨幅是5。贪心策略会选择股票B第一天到第二天(涨幅3),第二天到第三天选择股票A(涨幅2.5),总乘积是3*2.5=7.5,比长期持有A的5倍更好。或者,如果第三天股票B的价格是 600,那么三天的涨幅是6,而贪心策略的结果是3*2=6,同样等于长期持有。 因此,贪心策略在这种情况下是正确的,因为每次选择最大的涨幅,总乘积等于或超过任何其他策略。 因此,该问的最优解可以通过贪心算法实现,即对于每相邻两天,计算所有股票价格涨幅比率,选择最大的那个,并将资金乘以该比率。遍历所有相邻天,最终得到最大资金。 这样,代码的实现将变得简单。只需要遍历每一天i(从0到N-2),然后对于每个i,找出所有股票j的price[i+1][j]/price[i][j]的最大值,然后将当前资金乘以这个最大值。 例如,初始资金是K。对于每个i in 0...N-2: max_ratio = max( price[i+1][j] / price[i][j] for j in 0..M-1 ) K *= max_ratio 最终,输出K。 但这样是否正确呢? 假设题目允许每天进行一次买卖,即卖出前一天买入的股票,然后立即买入当天的股票。例如,第一天买入,第二天卖出,然后第二天再买入,第三天卖出,依此类推。这种情况下,总资金是初始资金乘以所有相邻天的最大涨幅比率的乘积。这种情况下,贪心策略是正确的。 因此,这可能是一个可行的解决方案,并且代码实现非常简单。 现在需要考虑输入的数据结构。例如,假设输入的N行是每天各股票价格。例如,对于N=5天,每行有M=5个股票价格。我们需要将这些数据存储为一个二维数组,如prices[N][M]。 然后,遍历i从0到N-2,计算对于每个i,max(prices[i+1][j]/prices[i][j]),然后将K乘以该最大值。 需要注意的是,价格可能是整数,所以除法需要用浮点数来处理,否则会导致取整错误。例如,当price[i+1][j]和price[i][j]都是整数时,除法应使用浮点运算。 例如,在C++中,可以将价格存储为整数数组,但在计算比率时转换为浮点数。最后,K需要保持为浮点数,或者在每次乘法时进行适当的处理。但需要注意的是,如果价格很大,或者N很大,可能导致浮点数精度问。例如,当K很大时,浮点数的精度可能不够,导致结果错误。但在编程竞赛中,通常题目会设计测试用例使得浮点数运算足够精确,或者要求输出整数结果,此时可能需要其他方法。 但在本中,用户希望输出最大利益,可能允许浮点数输出。或者,可能所有的操作后的资金必须是整数,例如,每次买入必须用整数金额。这取决于题目规则。如果题目允许购买任意金额(即可以买入非整数股),那么使用浮点运算是可以的。否则,可能需要其他处理方式。 如果题目要求资金必须为整数,那么可能需要其他方法,例如,使用高精度运算,或者动态规划跟踪最大可能的整数资金。 但根据用户的问描述,可能假设允许浮点运算,因此可以用贪心算法。 现在,编写C++代码的思路如下: 1. 读取N、M、K。 2. 读取N行,每行M个整数,存入prices数组。 3. 遍历每一天i,从0到N-2: a. 对于当前i,计算所有股票j的prices[i+1][j] / prices[i][j]的比率。 b. 找出这些比率中的最大值max_ratio. c. 将K乘以max_ratio. 4. 最后输出K。 例如,假设输入: 3 2 1000 100 200 200 150 300 300 则N=3天,M=2,K=1000. 第一天(i=0)到第二天(i+1=1)的比率: 股票0:200/100=2.0,股票1150/200=0.75 → max_ratio=2.0 → K=1000*2=2000. 第二天(i=1)到第三天(i+1=2)的比率: 股票0:300/200=1.5,股票1:300/150=2.0 → max_ratio=2.0 → K=2000*2=4000. 输出4000. 这样,结果是正确的。 现在,测试另一个例子,比如: N=2天,M=1,K=1. 第一天股价:1 第二天股价:3 则max_ratio=3/1=3 → K=3. 输出3. 这正确。 另一个例子,N=1天。此时无法进行任何交易,因为需要至少两天才能完成一次买卖。因此,输出初始资金K. 但根据代码逻辑,当N=1时,循环i从0到N-2即i从0到-1,循环不执行,所以K保持原样。这正确。 所以,代码需要处理N=1的情况,此时直接输出K. 现在,编写C++代码: 首先,读取输入: #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> #include <iomanip> using namespace std; int main() { int N, M; double K; cin >> N >> M >> K; vector<vector<double>> prices(N, vector<double>(M)); for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < M; ++j) { cin >> prices[i][j]; } } for (int i = 0; i < N-1; ++i) { double max_ratio = 0.0; for (int j = 0; j < M; ++j) { if (prices[i][j] == 0) { // 防止除零错误,但题目中股价应该大于零? continue; } double ratio = prices[i+1][j] / prices[i][j]; if (ratio > max_ratio) { max_ratio = ratio; } } if (max_ratio > 0) { K *= max_ratio; } } cout << fixed << setprecision(2) << K << endl; return 0; } 这段代码将读取N、M、K,然后读取N天的股价。接着,对于每相邻两天,计算所有股票的涨幅比率,取最大值,并乘到K上。最后输出K,保留两位小数。 但需要注意几个问1. 股价可能为0?但股票价格通常不会是零或负数,但代码中应处理可能的除零错误。假设题目中的股价都是正整数,所以不会出现零的情况。 2. 浮点数的精度问。例如,当K很大时,多次乘法可能导致精度丢失。但题目可能接受这一点。 3. 输出是否需要四舍五入?例如,样例中的输出可能要求整数,但用户没有说明。这里假设输出可以是浮点数,保留两位小数。 但根据用户的问描述,可能最终希望输出最大利益,可能要求保留两位小数,或者输出整数部分。例如,如果题目中的股价都是整数,且每次操作后资金必须四舍五入到两位小数,或者截断。但用户没有明确说明,所以代码中使用保留两位小数的方式输出。 此外,需要注意当max_ratio小于等于1时,是否应该不进行操作。例如,如果所有股票在i到i+1天都跌了,那么max_ratio<1,此时卖出将导致亏损。因此,最优策略是不买入任何股票,即不进行操作。因此,在代码中,如果max_ratio<1,那么K将乘以max_ratio,导致资金减少。此时,正确的做法应该是不进行任何交易,保持现金不变。因此,在代码中,应该比较max_ratio与1的大小,只有当max_ratio>1时,才进行买入卖出操作。 这是一个重要的修正点。例如,假设某天的所有股票的涨幅比率都小于1,那么最优选择是不进行任何交易,保留现金,这样资金不变。 因此,代码中的K *= max_ratio应该改为: 如果max_ratio > 1,则K *= max_ratio,否则不变。 因此,修正后的代码逻辑是: for each day i from 0 to N-2: compute max_ratio = max(prices[i+1][j]/prices[i][j} for all j) if max_ratio > 1: K *= max_ratio else: do nothing 这样才能正确避免在亏钱的情况下进行交易。 因此,代码中的对应部分应该修改为: if (max_ratio > 1) { K *= max_ratio; } 否则,不进行操作。 这样,在股票下跌的情况下,不会进行交易,保持现金。 因此,在之前的例子中,假设某天所有股票都下跌,代码将不会进行操作,保留之前的资金。 例如,假设输入: 2 2 1000 100 200 50 150 第一天到第二天的比率:50/100=0.5,150/200=0.75 → max_ratio=0.75<1,所以不进行操作。最终资金保持1000。 这将正确反映策略。 因此,修正后的代码部分应为: 在计算完max_ratio后: if (max_ratio > 1.0) { K *= max_ratio; } 这样,代码现在正确。 现在,修改代码: ... for (int i = 0; i < N-1; ++i) { double max_ratio = 0.0; for (int j = 0; j < M; ++j) { if (prices[i][j] == 0) { // 防止除零错误,假设股价不会为0 continue; } double ratio = prices[i+1][j] / prices[i][j]; if (ratio > max_ratio) { max_ratio = ratio; } } if (max_ratio > 1.0) { K *= max_ratio; } } ... 这将确保只有当存在正收益时才进行交易。 这样,代码的逻辑就正确了。 总结:用户的问是要求通过买卖股票在N天后获得最大利益,正确的解法是贪心算法,即每天选择相邻天中涨幅最大股票进行买卖,当且仅当该涨幅大于1。这样,代码可以通过遍历每天的价格,计算最大涨幅比率,并依此更新资金。</think>要解决这个问,我们需要在给定天数内通过买卖股票获取最大利益。假设每天可以选择将全部资金投入涨幅最大股票,并在下一天卖出。以下是具体的解决方案: ### 方法思路 1. **输入处理**:读取初始资金、天数和股票数量,以及每天的股票价格。 2. **计算每日最大涨幅**:遍历相邻两天,计算每只股票的涨幅比率,选择最大的那个。 3. **更新资金**:如果最大涨幅大于1,则将当前资金乘以该涨幅比率,否则不进行交易。 4. **输出结果**:最终资金保留两位小数。 ### 解决代码 ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <iomanip> using namespace std; int main() { int N, M; double K; cin >> N >> M >> K; vector<vector<double>> prices(N, vector<double>(M)); for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < M; ++j) { cin >> prices[i][j]; } } for (int i = 0; i < N - 1; ++i) { double max_ratio = 0.0; for (int j = 0; j < M; ++j) { if (prices[i][j] == 0) continue; // 假设股价不为零 double ratio = prices[i + 1][j] / prices[i][j]; if (ratio > max_ratio) { max_ratio = ratio; } } if (max_ratio > 1.0) { K *= max_ratio; } } cout << fixed << setprecision(2) << K << endl; return 0; } ``` ### 代码解释 1. **输入处理**:首先读取天数 `N`、股票数量 `M` 和初始资金 `K`。然后读取 `N` 天的股票价格数据。 2. **遍历相邻天数**:对于每一天,计算所有股票在下一天的涨幅比率,找到最大的那个比率。 3. **更新资金**:如果最大涨幅比率大于1,说明有利可图,将当前资金乘以该比率;否则不进行交易。 4. **输出结果**:最终输出保留两位小数的最大资金。 该方法通过贪心策略,确保每次交易都选择能带来最大收益股票,从而在给定天数内最大化资金。时间复杂度为 $O(N \times M)$,适用于常见输入规模。
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