bzoj 1036 树链剖分 迭代 模板

本文介绍了一个结合线段树和树状数组的数据结构实现案例,通过具体算法和代码展示了如何处理复杂的区间查询更新问题。文章深入探讨了线段树的构建、更新及查询操作,并结合树状数组优化了查询效率。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<climits>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=30010;
int n,m,tot,head[N],nxt[N*2],to[N*2],val[N],pre[N],dep[N],q[N],size[N],son[N],top[N],w[N],id[N];
int MAX[N<<2],sum[N<<2];
bool v[N];
char s[10];
#define lc idx<<1
#define rc idx<<1|1
void pushup(int idx)
{
    MAX[idx]=max(MAX[lc],MAX[rc]);
    sum[idx]=sum[lc]+sum[rc];
}
void build(int idx,int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        MAX[idx]=sum[idx]=w[l];
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc,l,mid);
    build(rc,mid+1,r);
    pushup(idx);
}
void update(int idx,int l,int r,int u,int val)
{
    if(l==r)
    {
        MAX[idx]=sum[idx]=val;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    if(u<=mid)update(lc,l,mid,u,val);
    else update(rc,mid+1,r,u,val);
    pushup(idx);
}
inline void add(int u,int v)
{
    to[++tot]=v;
    nxt[tot]=head[u];
    head[u]=tot;
}
int qmax(int idx,int l,int r,int ql,int qr)
{
    if(ql<=l&&qr>=r) return MAX[idx];
    int mid=(l+r)>>1;
    int t1=-30000,t2=-30000;
    if(ql<=mid)t1=qmax(lc,l,mid,ql,qr);
    if(qr>mid)t2=qmax(rc,mid+1,r,ql,qr);
    return max(t1,t2);
}
int qsum(int idx,int l,int r,int ql,int qr)
{
    if(ql<=l&&qr>=r) return sum[idx];
    int mid=(l+r)>>1;
    int t1=0,t2=0;
    if(ql<=mid)t1=qsum(lc,l,mid,ql,qr);
    if(qr>mid)t2=qsum(rc,mid+1,r,ql,qr);
    return t1+t2;
}
inline int gmax(int a,int b)
{
    int tmp=-30000;
    while(top[a]!=top[b])
    {
        if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
        tmp=max(tmp,qmax(1,1,n,id[top[a]],id[a]));
        a=pre[top[a]];
    }
    if(id[a]>id[b])swap(a,b);
    tmp=max(tmp,qmax(1,1,n,id[a],id[b]));
    return tmp;
}
inline int gsum(int a,int b)
{
    int tmp=0;
    while(top[a]!=top[b])
    {
        if(dep[top[a]]<dep[top[b]])swap(a,b);
        tmp+=qsum(1,1,n,id[top[a]],id[a]);
        a=pre[top[a]];
    }
    if(id[a]>id[b])swap(a,b);
    tmp+=qsum(1,1,n,id[a],id[b]);
    return tmp;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int x,y;
    memset(head,0,sizeof(head));
    memset(v,0,sizeof(v));
    memset(son,0,sizeof(son));
    memset(top,0,sizeof(top));
    memset(size,0,sizeof(size));
    tot=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]);
    v[dep[1]=q[0]=1]=true;
    int r=0;
    for(int l=0;l<=r;l++)
    {
        for(int k=head[q[l]];k;k=nxt[k])
        {
            if(!v[to[k]])
            {
                v[to[k]]=1;
                dep[q[++r]=to[k]]=dep[q[l]]+1;
                pre[q[r]]=q[l];
                son[q[l]]=q[r];
            }
        }
    }
    for(int i=r;i>=0;i--)
    {
        size[pre[q[i]]]+=++size[q[i]];
        if(size[q[i]]>size[son[pre[q[i]]]])
            son[pre[q[i]]]=q[i];
    }
    tot=0;
    for(int i=0;i<=r;i++)
    {
        if(!top[q[i]])
        for(int k=q[i];k;k=son[k])
        {
            top[k]=q[i];
            w[id[k]=++tot]=val[k];
        }
    }
    build(1,1,n);
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%s%d%d",s,&x,&y);
        if(s[0]=='C') update(1,1,n,id[x],y);
        else if(s[1]=='M') printf("%d\n",gmax(x,y));
        else printf("%d\n",gsum(x,y));
    }

}

### 树链剖分的适用场景与使用方法 树链剖分是一种高效的数据结构,用于处理树上的路径查询和修改问题。它通过将树分解为若干条不相交的链来优化复杂度,使得许多原本需要 \(O(n)\) 时间的操作可以在 \(O(\log n)\) 时间内完成[^1]。 #### 1. 树链剖分的核心思想 树链剖分的核心在于将树分割成若干条链,这些链可以拼接成树上的任意路径。常见的树链剖分方法包括重链剖分和长链剖分。其中,重链剖分是最常用的一种方法,其基本原理是:对于每个节点,选择其所有子节点中包含节点数最多的子节点作为重儿子,连接重儿子的边称为重边,由重边构成的链称为重链[^2]。 #### 2. 树链剖分的适用场景 树链剖分适用于以下场景: - **路径查询**:例如,求解树上两点之间的最大值、最小值或和等问题。 - **路径修改**:例如,对树上某条路径上的所有节点进行加法或乘法操作。 - **子树查询**:例如,求解某个节点的子树中的最大值、最小值或和等问题。 - **动态维护**:当树的结构或节点属性发生变化时,树链剖分结合线段树等数据结构可以高效地维护这些变化。 #### 3. 树链剖分的应用方法 以下是树链剖分的基本应用步骤: ```python # 树链剖分的实现示例(Python) from collections import defaultdict, deque class TreeChainDecomposition: def __init__(self, n): self.n = n self.adj = defaultdict(list) self.parent = [0] * (n + 1) self.depth = [0] * (n + 1) self.size = [0] * (n + 1) self.heavy = [0] * (n + 1) self.top = [0] * (n + 1) self.pos = [0] * (n + 1) self.rpos = [0] * (n + 1) self.cnt = 0 def add_edge(self, u, v): self.adj[u].append(v) self.adj[v].append(u) def dfs1(self, u, p): self.parent[u] = p self.size[u] = 1 max_subtree = -1 for v in self.adj[u]: if v != p: self.depth[v] = self.depth[u] + 1 self.dfs1(v, u) self.size[u] += self.size[v] if self.size[v] > max_subtree: max_subtree = self.size[v] self.heavy[u] = v def dfs2(self, u, t): self.top[u] = t self.pos[u] = self.cnt self.rpos[self.cnt] = u self.cnt += 1 if self.heavy[u] != 0: self.dfs2(self.heavy[u], t) for v in self.adj[u]: if v != self.parent[u] and v != self.heavy[u]: self.dfs2(v, v) # 示例:初始化并构建树 n = 5 tree = TreeChainDecomposition(n) edges = [(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)] for u, v in edges: tree.add_edge(u, v) tree.dfs1(1, 0) tree.dfs2(1, 1) ``` 上述代码实现了树链剖分的基本框架,包括深度优先搜索(DFS)和重链划分。 #### 4. 实际应用案例 以 bzoj3252 为例,题目要求在树状结构中求解路径的最大价值和。这种问题可以通过树链剖分结合线段树或树状数组来解决。具体步骤如下: - 使用树链剖分将树划分为若干条链。 - 对每条链建立线段树或其他支持快速区间查询和修改的数据结构。 - 在查询或修改时,将路径拆分为若干条链,并分别在线段树上进行操作[^3]。 #### 5. 注意事项 - 树链剖分的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\),适合处理大规模数据。 - 在实际应用中,需要根据问题的具体需求选择合适的剖分方式(如重链剖分或长链剖分)。 - 结合其他数据结构(如线段树、树状数组)可以进一步提升效率。 ---
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