1043: 计算:\(T(m)=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{m^2}\)

本文介绍了一个计算数学序列T(m)的C++程序实现。该序列通过递减累加分数来计算,具体为1减去从2开始到m的所有整数平方的倒数之和。文章提供了完整的代码示例,并展示了当输入m为10时,输出结果保留六位小数的具体数值。

题目描述

给定\(m\)根据以下公式计算\(T(m)\):$$T(m)=1-\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}-\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{m^2}$$

输入

整型变量\(m\)

输出

计算\(T(m)\)(保留六位小数)

样例输入

10

样例输出

0.450232
#include<iostream>
#include<iomanip>
using namespace std;
int main()
{
    double  i,n;
    cin>>n;
    double sum=1.0;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
      sum-=1.0/(i*i);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(6)<<sum<<endl;
}

 

要找出由参数方程定义的直线截取圆的弦的长度,我们将进行以下步骤: 1. **确定圆的方程和参数方程:** 圆的方程是: \[ (x-3)^2 + (y+1)^2 = 25 \] 这个圆的中心在 \( (3, -1) \),半径为 \( r = \sqrt{25} = 5 \)。 直线的参数方程是: \[ \begin{cases} x = -2 + t \\ y = 1 - t \end{cases} \] 2. **将直线方程代入圆的方程中:** 将 \( x \)\( y \) 的表达式代入圆的方程: \[ ((-2 + t) - 3)^2 + ((1 - t) + 1)^2 = 25 \] 这化简为: \[ (-5 + t)^2 + (2 - t)^2 = 25 \] 展开这两个平方项: \[ (t - 5)^2 = t^2 - 10t + 25 \] \[ (2 - t)^2 = t^2 - 4t + 4 \] 因此: \[ t^2 - 10t + 25 + t^2 - 4t + 4 = 25 \] 合并组: \[ 2t^2 - 14t + 29 = 25 \] 转换为标准形式: \[ 2t^2 - 14t + 4 = 0 \] 3. **求解二次方程:** 先将方程简化: \[ t^2 - 7t + 2 = 0 \] 使用求根公式: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 8}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{41}}{2} \] 因此,方程有两个解: \[ t_1 = \frac{7 + \sqrt{41}}{2}, \quad t_2 = \frac{7 - \sqrt{41}}{2} \] 4. **计算对应的点:** 对应于这两个 \( t \) 值,我们计算弦的两个端点坐标: 对于 \( t_1 \): \[ x_1 = -2 + t_1 = -2 + \frac{7 + \sqrt{41}}{2} = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \] \[ y_1 = 1 - t_1 = 1 - \frac{7 + \sqrt{41}}{2} = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} \] 对于 \( t_2 \): \[ x_2 = -2 + t_2 = -2 + \frac{7 - \sqrt{41}}{2} = \frac{3 - \sqrt{41}}{2} \] \[ y_2 = 1 - t_2 = 1 - \frac{7 - \sqrt{41}}{2} = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \] 5. **计算弦的长度:** 弦的长度可以使用两点间距离公式计算\[ d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} \] 计算 \(x_1 - x_2\): \[ x_1 - x_2 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} - \frac{3 - \sqrt{41}}{2} = \frac{(3 + \sqrt{41}) - (3 - \sqrt{41})}{2} = \frac{2\sqrt{41}}{2} = \sqrt{41} \] 计算 \(y_1 - y_2\): \[ y_1 - y_2 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} - \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} = \frac{(-5 - \sqrt{41}) - (-5 + \sqrt{41})}{2} = \frac{-2\sqrt{41}}{2} = -\sqrt{41} \] 因此,弦的长度为: \[ d = \sqrt{(\sqrt{41})^2 + (-\sqrt{41})^2} = \sqrt{41 + 41} = \sqrt{82} \] 最终,
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04-01
### 参数方程下的弦长计算 对于参数方程定义的直线与圆相交的情况,可以通过将参数方程代入圆的标准方程来求得两交点对应的参数值 $t_1$ 和 $t_2$。随后利用两点间距离公式以及参数方程的特点,可以得到弦长的具体表达式。 #### 圆的标准方程 假设给定圆的标准方程为 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$[^1],其中 $(a, b)$ 是圆心坐标,$r$ 是半径。 #### 参数方程形式 设直线的参数方程为: $$ \begin{cases} x = x_0 + mt \\ y = y_0 + nt \end{cases} $$ 这里 $m$ 和 $n$ 表示方向向量分量,而 $t$ 是参数变量[^2]。 #### 将参数方程代入圆方程 把上述参数方程中的 $x$ 和 $y$ 替换到圆的标准方程中,则有: $$ (x_0 + mt - a)^2 + (y_0 + nt - b)^2 = r^2. $$ 展开并整理成关于 $t$ 的二次方程: $$ (m^2+n^2)t^2 + 2[(mx_0-my_0)+na-mb)]t + [(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2]=0, $$ 这是一个标准的一元二次方程的形式 $At^2+Bt+C=0$, 其中系数分别为: $$ A=m^2+n^2,\quad B=2[m(x_0-a)+n(y_0-b)],\quad C=(x_0-a)^2+(y_0-b)^2-r^2. $$ #### 解一元二次方程获取根差绝对值 根据一元二次方程的性质,其两个实数解之间的差距可以用判别式的平方根表示出来。即如果该方程有两个不同的实数解$t_1,t_2$,则它们之差的绝对值为: $$ |t_1-t_2|=\frac{\sqrt{B^2-4AC}}{|A|}. $$ #### 计算弦长 由于参数方程中每单位变化对应的实际空间位移大小等于$\sqrt{m^2+n^2}$,所以最终弦长$L$应乘上这个比例因子,从而得出完整的弦长公式如下所示: $$ L=\sqrt{(m^2+n^2)} \cdot |t_1-t_2|. $$ 因此, $$ L=\sqrt{(m^2+n^2)} \cdot \frac{\sqrt{B^2-4AC}}{|A|}, $$ 这便是基于参数方程下直线与圆相交所得弦长的通用数学推导过程[^3]。 ```python import math def chord_length(a, b, m, n, x0, y0, r): A = m**2 + n**2 B = 2 * (m*(x0 - a) + n*(y0 - b)) C = (x0 - a)**2 + (y0 - b)**2 - r**2 discriminant = B**2 - 4*A*C if discriminant >= 0: L = math.sqrt(A) * abs(math.sqrt(discriminant)) / abs(A) return L else: raise ValueError("No real intersection points exist.") ```
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