数据结构——二分

整数二分

二分原理

二分适用于有序数组，或者数组在一个点某一边具有同样的性质。
假设 l 为左端点，r 为右端点，通过 mid 将区间划分为二，然后检查 mid 是否满足某一边的性质，从而确定答案在哪一边，来细分区间，直到得到答案。

整数二分模板

// 区间[l, r]被划分为[1, mid]和[mid+1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r){
	while(l < r){
		int mid = l + r >> 1;
		if(check(mid)) r = mid;
		else l = mid + 1;
	}
	return 1;
}

// 区间[l, r]被划分为[1, mid-1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r){
	while(l < r){
		int mid = l + r + 1 >> 1;
		if(check(mid)) l = mid;
		else r = mid - 1;
	}
	return 1;
}

注意：区间[l, r]被划分为[1, mid-1]和[mid, r]时，mid = l + r + 1 >> 1
否则可能会产生边界问题，导致死循环。

应用

查询数字在数组中的位置。
原题链接

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围

1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

C++代码：

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n,m;
int q[N];

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d", &q[i]);
    while(m--){
        int x;
        scanf("%d", &x);
        int l = 0, r = n - 1;
        while(l < r){
            int mid = l + r >> 1;
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        
        if(q[l] != x) cout << "-1 -1" << endl;
        else{
            cout << l << ' ';
            
            int l = 0, r = n - 1;
            while(l < r){
                int mid = l + r + 1 >> 1;
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid - 1;
            }
            cout << r << endl;
        }
    }
    return 0;
}

浮点数二分

比起整数二分，浮点数二分就简单多了。
由于浮点数没有整除现象，即：区间 [ l, r ] 被划分为 [ l, mid ] 和 [ mid, r ] ，不需要处理边界。

应用

求数三次方根

原题链接

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

输入格式

共一行，包含一个浮点数 n。

输出格式

共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。

数据范围

−10000≤n≤10000

输入样例：

1000.00

输出样例：

10.000000

C++代码：

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    double x;
    scanf("%lf", &x);
    double l = - 100, r = 100;
    while(r - l >= 1e-8){		// 比精度多2
        double mid = (l + r) / 2;
        if(mid * mid * mid >= x) r = mid;
        else l = mid;
    }
    printf("%.6lf\n", l);
    return 0;
}