动态规划之背包问题（入门版）

题目描述

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是称为世界上最伟大的医师。 为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。 医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说： “孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。 我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入描述:

输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。
接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出描述:

可能有多组测试数据，对于每组数据，
输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入

70 3
71 100
69 1
1 2

输出

3

毫无疑问，这是经典的背包问题。问题分析：

采药的总时间T   ======    背包的容量

草药的数目M      ======     物品的个数

采药的时间t        ======     物体的体积

草药的价值v       ======     物体的价值

解决动态规划问题最重要就是找到----------最优子结构

这个问题其实很简单，无外乎两种可能性，也就是两种状态

每个物体都有放和不放两种状态，我们要解决的就是每一个物体是放进去价值量最大，还不放价值量最大

不放进去原因：一，背包体积剩余的体积 < 物体的体积

                         二，放进去后不能达到价值量最大

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    //T 总的背包容量
    //M 总的物体个数
    //t 每一个物体的体积
    //v 每一个物体的价值
    int t[101],v[101],T,M;
    while(cin>>T>>M)
    {
        // 用于记录每一个物体在不同容量时候最大的价值（就是记录在背包体积剩余为j(列)的时候
        // 第i(行)个物体的最大价值）
        int d[101][1001];
        // 循环输入每一个物体的体积和价值
        for(int i=1;i<=M;i++)
        {
            cin>>t[i]>>v[i];
        }
        // 必须明确 i ：表示第i个的物体
        //         j : 表示背包的剩余容量
        for(int i=1;i<=M;i++)// 这一层循环控制的就是第i个物体
        {
            for(int j=1;j<=T;j++)   // 这一层循环控制的是第i个物体在不同容量下的取值
            {
                if(j<t[i])   // 当背包的剩余容量小于物体的体积时（最大的价值就和上一个物体的最大价值一样）
                    d[i][j] = d[i-1][j];// 背包剩余体积为j时上一个物体的最大价值
                else
                    //这里就会出现尽管物体的体积可以放入背包中，但放入之后不能达到最大价值
                    // 如果取得是d[i-1][j]，即表明不放入背包，价值更大
                    // 如果取得是d[i-1][j-t[i]]+v[i] 即表明放入，价值大
                    d[i][j] = max(d[i-1][j],d[i-1][j-t[i]]+v[i]);
            }
        }
        cout<<d[M][T]<<endl;
    }
    return 0;

这个算法只要时刻记得，循环每一个物体，遍历每一个体积，然后：要么放进去，要么就不放进去（用的d[i][j] 来记录每一个值)

这一篇是入门版的，空间上还可以进行优化，如果有兴趣可以参考下一篇   动态规划之背包问题（优化版）