数论知识总结

一、素数筛法

void is_prime(int n)
{
int vst[N];
int prime[N];
memset(vst, 0, sizeof(vst));
vst[0] = vst[1] = 1;
int num = 0;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{
if(!vst[i])
{
prime[num++] = i;
for(int j = i + i; j <= n; j += i)
{
vst[j] = 1;
}
}
}

}

二、求n以内的数的约数之和

       for(int i = 1; i <= 100; i++)
{
for(int j = 1; i * j <= 100; j++)
{
sum[i * j] += i;
}

}

三、快速幂

ll power(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if(b & 1) ans *= a;
a *= a;
b >>= 1;
} 
return ans;

}

四、乘法逆元几种求法

1.拓展欧几里得

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
ll ans = exgcd(b, a % b, x, y);
ll t = x;
x = y;
y = t - (a / b) * y;
return ans;

}

求最小正整数解

b = abs（b / ans）;

x *= c / ans, x = (x % b + b) % b;

x即为最小正整数解

2.费马小定理

a^p-1 = 1(mod p)

所以 a的乘法逆元为a^p-2

作用：

① 判断素数，对于大素数的判定，Miller-Rabin 素数判定 
②求解逆元 ，设a模p的逆元为x，则a*x≡1(mod p) ,(a,p)=1;由费马小定理可以知道x=a^(p-2) 
③对于计算ab(modp)ab(modp) 可简化 
            对于素数p，任取跟他互素的数a，有a^(p-1)(mod p)=1 
            所以任取b，有a^b%p=a^(b%(p-1))(%p)从而简化运算。

3.

        inv[0] = inv[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; i++)
{
inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
}

五、lucas原理(求组合数)

void init(int n)
{
fac[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
}
}


ll power(ll a, ll b)
{
ll ans = 1;
while(b)
{
if(b & 1) ans = ans * a % mod;
a = a * a % mod;
b >>= 1;
}
return ans;
}


ll C(ll a, ll b)
{
if(a < b) return 0;
return fac[a] * power(fac[a - b] * fac[b] % mod, mod - 2) % mod;
}


ll lucas(ll n, ll m)
{
if(m == 0) return 1;
return C(n % mod, m % mod) * lucas(n / mod, m / mod) % mod;

}

六、容斥原理

for(int i = 0; i < m; i++)
{
    if(a[i])//排除为0的情况
    {
        dfs(i, a[i], 1);
    }
}

void dfs(int idx, ll lcm, int vis)
{
    lcm = a[idx] / gcd(a[idx], lcm) * lcm;
    if(vis % 2 == 0)
        ans -= (n - 1) / lcm;
    else
        ans += (n - 1) / lcm;
    for(int i = idx + 1; i < m; i++)
    {
        if(a[i])
            dfs(i, lcm, vis + 1);
    }

}

七、其它

//将一个数n分成k份
允许有0 C(n+k-1, k-1)
bu....0 2^(n-1)
a*b%c = (a%c)*b%c