Open CASCADE 高级曲面——N边曲面

问题来源

CAM（计算机辅助制造）路径规划

在CAM软件中规划加工路径时，在粗加工阶段一般追求加工路径尽可能平滑高效，减少不必要的刀路弯折、跳刀。而当零件上存在的孔、槽等凹陷特征时，可能出现在粗加工阶段不必要的局部细小刀路，影响加工效率。如下图所示：

在精加工阶段，当零件上有孔、槽特征时，同样会出现不必要的跳刀，而当刀路连续运行时，加工效率更高。如以下图所示，蓝色的切削刀路被孔洞截断，进而出现较多红色的跳刀：

针对该问题，一个解决方向是，向刀具路径规划算法提出极高的要求——在路径规划阶段即可自动跳过此类特征。但该要求往往过于苛刻，甚至成为一个难以完备解决的难题。而另一个方向则是将此类凹陷的洞特征“补平”——即应用CAD的补面技术构造补洞面片，补洞后，将得到如下刀路：

“补”一个由N个边界围成的区域（Filling n-sided regions）是CAD领域的一个经典问题，针对由两条边界（2-sided）、三条边界（3-sided）、四条边界（4-sided）以及由N条边界（N-sided）围成的区域填充问题，已有充分的技术研究相关研究，并且已在商业三维建模引擎实现，例如ACIS中的Cover。

N边域解决方法

对于单个拓扑面上的N边域这一简单场景，可以直接基于拓扑关系填充或删除N边域（Open CASCADE 获取面的内外环线）。

而复杂场景下的N边域填充主要有以下三种方法：

1. 细分方法（Subdivision）
   通过递归细分初始多边形$P_0$，即由$P_{i-1}$求解$P_i$，到近似生成光滑曲面。处理N边孔洞时，需解决非四边形面的填充问题。
2. 多面片法（Multiple Patches）
   将N边域分割为三角形或四边形子区域，用标准曲面片填充，但需确保内部光滑性，其中解决子区域之间的连续性问题是一个挑战，如保持$C^1,G^2$连续。
3. 单面片法（Single Patches）
   直接使用单一曲面片填充N边域，避免多面片的光顺性问题，但面临非矩形参数域和形状控制的挑战。这种方法一般也叫做N边曲面（N-Sided Surface）。

如何进一步地定义N边曲面 N-Sided Surface？

N边曲面是一个由N条彼此相连的边界($E_0,E_1,E_2,...,E_{n-1}$)围成的、可通过指定点或边并满足连续性要求约束地单张曲面，指定的约束条件可以是：

1. 点约束：指定空间一个点，使N边面通过该点。进一步地，当点位于某曲面上时，可以约束通过该曲面上的点（$G^0$）、与曲面上该点相切（$G^1$）、与曲面上该点曲率半径相等（$G^2$）；
2. 非边界约束：指定空间上的一条边，使得N边曲面通过该边，并满足连续性要求；
3. 边界约束：当边属于相邻面的边界时，可以添加与相邻面的$G^0/G^1/G^2$连续性约束。

本文尝试通过Open CASCADE算法尝试构造N边曲面。

Open CASCADE 实现N边面

BRepFill_Filling 是 OCC 中实现N边曲面的接口，属于拓扑层面的算法，其底层核心求解算法由GeomPlate模块提供。GeomPlate模块提供用于构建板状（plate）曲面的高级曲面建模技术，除了可应用于N边曲面的生成之外，还可以用于过渡圆角曲面的构造。

这里不深入涉及GeomPlate底层数学原理，仅简要介绍一下BRepFill_Filling在应用层面的基本逻辑。

整体运行流程

BRepFill_Filling本质上是构造一个约束NURBS曲面，约束类型可分为点约束、边约束。
算法整体运行过程如下图所示：

关键算法

连接约束边界的缝隙

自由面的作用是辅助构造边界约束中不完整的边界，不是约束的一部分。当边界约束的边界不封闭时，将以自由面为基础，在边界缝隙处构造一段曲线来缝合边界。如下图所示，红色表示约束边界、绿色则是根据自由面构造的缝合曲线段：

约束求解: 边界 + 非边界 + 点

对边界/非边界约束、点/线约束进行前处理，构造为Plate_Plate约束数据，并进行求解。

其中，构造初始平面目的是为了接下来在平面上（或参数域内）处理点/线约束，初始曲面也可以由外部提供。算法构造的初始平面如下图灰色面所示：

从这里可以看推测，由于后续步骤包括约束边界向初始平面进行投影等操作，当投影所得多边形存在自相交时，算法将难以继续执行。即构造N边面时所选定的边界至少在某个投影方向上不存在自相交。

约束求解后得到的GeomPlate_Surface是一个参数化曲面，还需进一步逼近为NURBS曲面。

薄板曲面逼近

逼近算法AdvApp2Var_ApproxAFunc2Var以分段多项式逼近的方式，将约束求解所得薄板曲面GeomPlate_Surface转换为NURBS曲面Geom_BSplineSurface。

拓扑构造

逼近时，求解区域会适当大于输入的约束边界。构造拓扑面时，基于输入边界线在N边面上构造新的边界。效果如下图所示：

这里所谓新的边界是相对于N边面而言的，即在输入Edge的基础上，新增构造了一条位于N边面上的边界曲线BRep_CurveOnSurface，串联所有的边界曲线即可确定N边曲面的外环。

应该注意，虽然在约束求解时，算法可自动缝补输入边界的缝隙。但在构造最终拓扑面时，并未恰当的处理缝隙的问题，当输入的约束边界不封闭，将得到拓扑异常的结果。因此，应仔细检查，确保输入边界是封闭的。

关于拓扑边界的概念可参考如下示意图（其中2D curve P2可视为新构造的边界），详细可参考OCC关方文档。

由于N边面新构造边界来源于输入边界，二者存在天然的拓扑联系（具有相同的TopoDS_TShape），因此后续可以轻松将N边曲面与输入边界所在曲面进行缝合。

运行效果

边界约束

以若干条相连边作为N边曲面的边界、与边所在的曲面保持$G^0/G^1/G^2$连续性要求。如下图所示，相同的边界（图中红色线框）、选择不同的相邻面，设置连续性为$G^1$，得到不同的N边曲面：

点约束（空间任意）

以空间中任意一点作为点约束，使得N边曲面通过指定点。如下图所示，不同位置的点所得到的N边曲面：

点约束（曲面上的点）

以曲面上一点为约束，使得N边曲面与点所在曲面保持$G^0/G^1/G^2$连续，如下图所示，：

鼠标所指曲面上的点与N边曲面分别为$G^0/G^1/G^2$连续。

曲面变形

通过空间点约束，实现曲面通过点变形，如下图所示：

曲面桥接

在两个面之间构造光滑衔接的过渡曲面

示例代码

const std::vector<TopoDS_Shape>& bnd_edges = ...;
BRepFill_Filling fill;
// 边界约束
for (size_t i = 1; i < bnd_edges.size(); i += 2)
{
    TopoDS_Shape edge = bnd_edges[i - 1];
    TopoDS_Shape face = bnd_edges[i];
    if (TopAbs_EDGE == edge.ShapeType() && TopAbs_FACE == face.ShapeType())
    {
        // nothing to do
    }
    else if (TopAbs_EDGE == face.ShapeType() && TopAbs_FACE == edge.ShapeType())
    {
        std::swap(edge, face);
    }
    else
    {
        continue;
    }
    fill.Add(TopoDS::Edge(edge), TopoDS::Face(face), GeomAbs_G1);
}
// 非边界约束
const std::vector<TopoDS_Shape>& free_edges = ...;
for (const auto& fe : free_edges)
{
    if (TopAbs_EDGE != fe.ShapeType())
    {
        continue;
    }
    TopoDS_Edge e = TopoDS::Edge(fe);
    fill.Add(e, GeomAbs_G1, false);
}

// 面上点约束
const std::vector<TopoDS_Shape>& faces = ...;
for (const auto& fe : faces)
{
    if (TopAbs_FACE != fe.ShapeType())
    {
        continue;
    }
    TopoDS_Face f = TopoDS::Face(fe);
    Handle(Geom_Surface) surf = BRep_Tool::Surface(f);
    if (!surf)
    {
        continue;
    }
    const double u = ...;
    const double v = ...;
    GeomAbs_Shape con;
    switch (...)
    {
    case 0: con = GeomAbs_C0; break;
    case 1: con = GeomAbs_G1; break;
    case 2: con = GeomAbs_G2; break;
    default: con = GeomAbs_G1; break;
    }
    fill.Add(u, v, f, con);
    break;
}
// 自由点约束
gp_Pnt pnt = ...;
fill.Add(pnt);
fill.Build();
if (!fill.IsDone())
{
    // "N边面构造错误：Build 异常";
}
TopoDS_Face result_face = fill.Face();
...

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Mechanicoder/article/details/145809854

参考资料

1. UG/NX 曲面建模「N边曲面」命令简介
2. Surface modeling. Part6