常见动态规划问题总结

最近毕业面临找工作的问题，在刷各大厂笔试题的时候发现大厂特别爱考一类问题，就是动态规划问题。于是决定将我见到的各类常见的动态规划问题做个总结，方便后期复习。
动态规划即Dynamic Programming，简称DP，初接触动态规划问题会觉得这类问题很抽象，晦涩难懂，不同的问题的求解思路也是千差万别，但是从本质上来看动态规划问题，最核心的思想就是将一个大的问题拆分成一个一个的子问题，通过定义问题与子问题之间的状态转移关系，从而使得问题可以递推的解决下去。（绝大部分递归的问题都可以用动态规划的方式来解决，而且可以大大减小时间复杂度和空间复杂度）

最长递增子序列（来自牛客网）

对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2…，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。
给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。
测试样例：
[2,1,4,3,1,5,6],7
返回：4

这里用dp[i]表示以标识为i的元素为递增序列结尾元素的最长递增子序列的长度,由于这里的递增序列不要求严格相邻，因此A[i]需要和每一个A[j] (i>j)比较，如果存在A[i]>A[j],说明第i个元素可以接在第j个元素后面作为新的递增序列的结尾，因此dp[i] = max(dp[j]) + 1;否则，说明第i个元素比前面所有的数都小，以i元素作为结尾的d递增p序列长度为1，因此dp[i] = 1。最后只要取出dp中最大的值就是最长递增子序列的长度。将状态分析好了以后，问题就迎刃而解，这里附上手动撸的java版代码：

public static int[] forward(List<Integer> list){
        int[] dp = new int[list.size()];
        dp[0] = 1;
//max标记前面j个数中最大的子序列的长度
        int max;
        for(int i = 1; i < list.size();i++){
            max = 0;
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(list.get(i) > list.get(j)){
                    max = max < dp[j] + 1 ? dp[j] + 1 : max;
                }else{
                    max = max < 1 ? 1 : max;
                }
            }
            dp[i] = max;
        }
        return dp;
    }

最长公共子序列（来自牛客网）

对于两个字符串，请设计一个高效算法，求他们的最长公共子序列的长度，这里的最长公共子序列定义为有两个序列U1,U2,U3…Un和V1,V2,V3…Vn,其中Ui&ltUi+1，Vi&ltVi+1。且A[Ui] == B[Vi]。
给定两个字符串A和B，同时给定两个串的长度n和m，请返回最长公共子序列的长度。保证两串长度均小于等于300。
测试样例：
“1A2C3D4B56”,10,”B1D23CA45B6A”,12
返回：6

我们用dp[i][j]来表示A串中的前i个字符与B串中的前j个字符的最长公共子序列长度，倘若A[i] = B[j]，我们可以得到转移方程dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1，如果A[i] != B[j],dp[i][j] = max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])。

    public static int findLCS(String A, int n, String B, int m) {
        // write code here
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(A.charAt(i - 1) == B.charAt(j - 1)){
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - 1],Math.max(dp[i - 1][j],dp[i][j -