切片引理和两个意想不到的应用

    考考你的立体几何直觉：用一系列间距相等的平行平面把一个球体切成厚度相同的薄片，这些薄片的侧面积都相等吗？

  

    是的。用平行平面把球体截成一个个切片，如果切片的厚度都相同，那么它们的侧面积也都相同，不管这些切片位于球体的什么位置。也就是说，切片的侧面积是与切片的厚度成正比的。推导这个惊人的结论非常适合用作定积分计算旋转体侧面积的练习题。圆的表达式是 √1 - x^2 ，套用公式 ∫(a..b) 2π·f(x)·√1 + f'(x)^2 dx 即可发现，整个积分被化简为 ∫(a..b) 2π dx ，因此薄片侧面积就是 2π(b-a) 。换句话说，半径为 1 的球里，一个切片的侧面积总等于 2π 乘以切片的厚度，两个切片的侧面积相等当且仅当它们的厚度相等。我查了半天，似乎这个经典结论并没有什么特别的名字，不妨就把它叫做“切片引理”吧。

 
  

    有趣的是，这个定理在二维情形是不成立的。比方说，取半径 OA 的中点 M ，过 O 和 M 分别作半径的垂线。由于 OM 是 OB 的一半，可知 ∠AOB=60° ， ∠BOC=30° ，弧 AB 和弧 BC 明显不相等。

 
    最近，我看到了两个非常有趣的问题，它们