如此排序能成吗？

  

    书架的某一层里放了一套百科全书，但它们排列的顺序却是乱的。一个傻子想要把这套书排好顺序，也就是说他想要书架里的书从左至右分别是第 1 卷，第 2 卷，……，第 n 卷。他给这套书排序的办法是这样的：不断取出一本原应放在更左边的书，插进它该在的位置。比方说，某本书的卷号是 3 ，它的位置却是左起第 5 ，位于其目标位置的右侧。那么傻子就可以把这本书拿出来，插入当前左起第 2 本书的右边，把那些占了它位置的书挤到更右边去，而不管这一操作是否会破坏掉已经就位的书。注意到这种排序法很可能捡了芝麻，丢了西瓜，为了一本书的位置而破坏掉一连串原已排好的书，可谓是鼠目寸光，缺乏远见。我们的问题是，在哪些情况下这样的排序法最终一定能实现排序，哪些情况下可能会陷入永无止境的死循环？

 
 
 
 
 
 
    出人意料的是，这种看上去明显有漏洞的排序法竟然是一种正确的排序算法——对于任意一个初始序列，采用这种方法总能让序列最终变得有序。为了证明这一点，我们按照如下方式把序列编码为 n 位的 01 串：左起第 i 位为 1 当且仅当第 i 卷在正确的位置上。序列 7, 2, 1, 4, 3, 5, 6, 8, 9 就被编码为 010100011 ，因为在这 9 本书当中，只有卷 2 、卷 4 、卷 8 和卷 9 在正确的位置上。
    如果某一次操作中，傻子把第 k 卷放进了正确的位置，那么考虑所有卷数小于 k 的书：如果它原本就在左起第 k 本书的左边，这个操作影响不到它；如果它原本就是左起第 k 本或者更右边的书（这表明它原本就不在正确的位置上），那么现在它仍然不可能在正确的位置上（它的位置只可能不变或者更靠右了）。因此，编码的前 k-1 位是不动的，但第 k 位从 0 变成 1 了。这就意味着，任意一个操作总会让整个二进制编码变大。而容易看出，只要序列不是有序的，傻子总有可以操作的对象，因此序列编码将不断增加，最终将变成 111...11 。此时所有书都在它应该在的位置上，整个序列也就有序了。

 
 
 
    现在，又来了另外一个傻子。他的排序办法和前一个傻子基本上相同，唯一不同的是，他每次都可以选择任意一本不在原位的书（并把它放进它应该在的位置），而不仅仅是选择那些位于目标位置右侧的书。这个傻子的排序方法还能保证最终总会让这排书变得有序吗？

 
 
 
 
 
 
    答案竟然再一次是肯定的——这种方法最终总能让所有序列变得有序。为了证明这一点，只需要注意到，只要序列不是有序的，傻子总能找到合法的操作，因此只要不存在循环，序列最终一定会变得有序。我们将用反证法证明，傻子的操作一定不会让状态产生循环。
    假设存在一个循环，并且在某一步，傻子取出了第 k 卷，并且无妨假设它被移动到了更右边的某个位置。由于这是一个循环，因此在某个时候它又跑回了目标位置的左边。这说明，傻子一定取出了一本卷号比 k 更大的书，放到了 k 的右边，并把 k 挤到左边去了。只需要令 k 为循环中被挪到右边的书中卷号最大的一本，矛盾就产生了。

 
 
    我们自然会提出这样一个问题：这种排序算法的效率如何？换句话说，最坏情况下傻子排序法需要操作多少步？今年一月和二月的 UyHiP 谜题中， Michael Brand 详细地讨论了这个问题，有兴趣的朋友可以看看：

    http://www.brand.site.co.il/riddles/201001q.html
    http://www.brand.site.co.il/riddles/201002q.html