趣题：单位正方形内相互分离的两个小正方形，其边长和小于1

  
    有人问到我这篇日志里的相关问题，这里简单说一下。
    1941年，数学家Paul Erdős在American Mathematical Monthly上提出了这样一个问题：如果两个正方形S1和S2包容于单位正方形中，它们没有公共点，则它们的边长之和小于1。
    这是一个非常有趣的问题。它有趣的地方就在于，乍看之下想要证明它似乎很困难，然而事实上整个证明过程非常巧妙，初中平面几何知识就可以全部搞定。






































  
    如果两个正方形是完全分离的，那么一定能找出一条线可以从它们中间穿过（图上用红色标注）。假设它和另一个方向上的对角线相交于P，从P点出发向单位正方形的四条边分别做垂线。注意到，所有包含于直角三角形内的正方形中，内接于三角形且其中一个顶点在三角形直角顶点上的那个正方形面积最大。于是，蓝色的正方形面积不会超过正方形AMPN的面积，紫色的正方形面积不会超过正方形PSCT的面积，且等号不能同时成立。这就告诉我们，蓝色正方形的边长不超过AN，紫色正方形的边长不超过SC，也即两个正方形的边长和小于单位长度。