2008年北京大学自主招生数学考题

    北大自主招生的数学考题就只有5道题，考生反映“巨难无比”，考完立马就郁闷了，哇啦哇啦地哭。我收集到的信息不多，得到的消息也没有一一去证实。我把这5道题大致写一下，题目描述可能不准确，但基本意思就是这样。

1. 证明：边长为1的正五边形的对角线长为(1+√5)/2

2. 已知一个六边形AB₁CA₁BC₁，AB₁=AC₁，CB₁=CA₁，BA₁=BC₁，∠A+∠B+∠C=∠A₁+∠B₁+∠C₁。证明：三角形ABC面积为六边形的一半。

3. 某次球赛实行单循环赛制，规定赢一场得1分，输一场得0分。比赛队伍分为南方和北方，南方比北方多9支球队，且最后南方总分数是北方的9倍。求证：南方某支球队的得分最高。

4. 已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足：
a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2
且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3}
证明：max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}

5. 空间解析几何题，涉及到旋转体和光源。题目看了半天都不懂是啥意思，估计原题有附图。哪位有更准确的题目描述麻烦请在下面留言告诉我。 网上找的题目没有“圆周”两个字，怪不得半天不懂是啥意思。
立体直角坐标系xyz，在xy平面上有图形0<=y<=2-x^2，将此图形绕y轴旋转得到一个不透光的几何体V。在点P(1,0,1)处有一点光源，xy平面上有一以原点为圆心的圆，此圆的圆周上被照亮的部分长度为2π，求未被照亮的部分的长度。（感谢dd）

另据了解，清华的数学题题量较大，题目也稍微简单一些。有两道题非常有意思，我也一起写在这里。
证明：任意给定一个四面体，则至少存在一个顶点，使得过该顶点的三条棱可以构成一个三角形。
证明：以原点为对称中心、面积大于4的矩形至少覆盖除原点外的另外两个格点。