《什么是数学》读书笔记(一):反证法、数学归纳法与唯一分解定理

本文是《什么是数学》的读书笔记,探讨了数学归纳法的合理性,通过反证法解释了非空正整数集中存在最小元素的原理,并详细阐述了唯一分解定理及其证明过程,揭示了数论中的基本概念和推理方法。

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    期中告一段落。除了下下星期要交的现文史论文以外,最近似乎又清闲了不少,又有功夫在这里写点东西了。当然,我宝贵的时间也没有荒废在论文、作业和考试上。几乎每一堂古汉课和现文史课我都在读《什么是数学》,进度算是相当快了。这可能是我近几年读的所有书中给我带来的收获最大的一本。最近好几个人问我,有什么牛B一点的数学书没。我毫不犹豫地脱口而出,《什么是数学》。如果我要去一个荒岛上,只能带三本书,我会选择《算法导论》、《组合数学》和《什么是数学》。如果叫我舍弃一样,我估计会扔掉《组合数学》。如果还得再丢弃一本,我只好忍痛丢下《算法导论》了。
    读《什么是数学》的收获太多了。在这里,我只更新一些我原来不知道,又很有趣的东西。如果你希望迅速对此书有一个全面的了解,千万不要错过dd牛的《什么是数学》笔记

    阅读《什么是数学》的前面几章时,你经常会跟随着书中的文字重新看待一个显而易见的结论,然后对这个结论有了一个全新的认识。比如,书中曾提到,为什么数学归纳法是合理的?我已经知道n=1时结论成立,也知道若n=k成立则n=k+1结论也成立,那么对于任意一个给定的正整数t,n=t时的结论是成立的,因为经过有限次迭代后最终我们总可以到达n=t的情况。但是,为什么我们敢断言对所有这无穷多个n,结论都是成立的?显然,你不能说“我们可以迭代无穷多次”,一个有限的证明过程当然不允许有无限多个步骤。因此,为了说明对于所有正整数n结论都成立,我们不得不使用反证法把“无穷”变成“有穷”。我们假设对于某些n,这个结论是不成立的。那么,这里面一定存在一个最小的数p,它使得结论不成立。由于我们已知n=1时结论成立,因此p一定是大于1的。但n=p是“最早”使结论不成立的情形,因此n=p-1时结论一定为真。这就与我们已知的第二个条件“若n=k成立则n=k+1结论也成立”矛盾了。因此我们说,对于所有正整数n,结论都是

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