经典证明：任何正整数着色方案中都含任意长的单色等差数列

    我们知道，存在这样一种全体正整数的红蓝二着色方案，其中没有任何无穷长的等差数列满足数列中的所有数颜色都一样。它的构造非常暴力。有趣的是，把上述命题中的“无穷长”换成“任意长”，命题就不见得仍然正确了。事实上，Van der Waerden定理告诉我们，对于任意大的k，总存在一个N，使得对从1到N的正整数进行红蓝二染色后，里面总存在一个单色的长为k的等差数列。当命题扩展到任意c着色时，该命题竟然也都成立。证明主要用了鸽笼原理和数学归纳法，证明过程直观而又有趣。

    我们首先来证明k=3的情况：存在某个N使得对N个连续自然数进行二染色后里面总有长为3的单色等差数列。我们把全体正整数5个5个地分组，1..5为第一组，6..10为第二组，以此类推。每一组里总共有2^5种不同的染色方案，因此在前2^5+1组里面必然有两个组的染色一模一样，比方说第7组和第23组吧。把第7组里的数记作A_1, A_2, ..., A_5，由鸽笼原理，A_1, A_2, A_3里面一定存在两个颜色相同的数，不妨设A_1和A_3都是红色吧。考虑A_5的颜色：如果它是红色，我们的问题就解决了，A_1, A_3, A_5已经是一个长度为3的等差数列。下面考虑A_5是蓝色的情况。别忘了第7组和第23组的染色完全相同，因此在第23组中，B_1, B_3也是红色，B_5也是蓝色。下面我们来考虑全体正整数的第39组（7,23,39是等差数列），我们把它记为C_1, C_2, ..., C_5。考虑C_5的颜色：如果它是红色，那A_1, B_3, C_5就是一个全为红色的等差数列，否则A_5, B_5, C_5就是一个全为蓝色的等差数列。显然，上述证明中的“最坏情况”就是，第1组和第33组的染色相同，且第1组的第1个数和第33组的第3个数是红色，则下一个数最远可以是第65组的第5个数，即全体