基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的压缩感知图像复原研究【自适应曲线阈值去除加性稳态白有色高斯噪声】附Matlab代码

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🔥 内容介绍

随着信息技术的飞速发展，图像作为重要的信息载体，其采集、传输和存储面临着巨大的挑战。压缩感知（Compressed Sensing, CS）理论以其远低于奈奎斯特采样率的信号采集能力，为解决图像数据冗余问题提供了新的思路。图像复原作为图像处理领域的核心问题之一，旨在从受到噪声、模糊等退化因素影响的图像中恢复出高质量的原始图像。本文聚焦于压缩感知框架下的图像复原问题，并深入研究了基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的图像复原方法。具体而言，本文探讨了如何利用自适应曲线阈值有效地去除加性稳态白有色高斯噪声（Additive Stationary White Colored Gaussian Noise, ASWCAGN），并结合非局部稀疏正则化先验信息，构建一个联合优化模型，从而在压缩感知域实现高质量的图像复原。研究结果表明，所提出的方法在噪声抑制和图像结构恢复方面具有显著优势，能够有效地提升压缩感知图像复原的性能。

引言

图像复原是数字图像处理中的一个重要研究方向，其目标是消除或减轻图像在采集、传输或存储过程中引入的退化，以恢复出清晰、高质量的原始图像。常见的图像退化因素包括噪声、模糊、下采样等。传统的图像复原方法通常依赖于图像的先验知识，如图像的局部平滑性或全局结构信息。然而，这些先验信息往往难以精确获取，且在复杂场景下可能失效。

近年来，由Donoho和Candès等人提出的压缩感知理论，为信号采集和处理带来了革命性的变革。压缩感知理论指出，如果一个信号在某个稀疏基下是稀疏的，那么可以通过远低于奈奎斯特采样率的线性测量值对其进行精确或近似精确的恢复。在图像处理领域，图像本身往往并不稀疏，但在适当的变换域下（如小波变换、离散余弦变换等）具有稀疏性。因此，压缩感知理论被广泛应用于图像采集、压缩和复原等领域。

压缩感知图像复原的核心问题在于如何从欠定的线性测量值中恢复出原始图像。这通常通过求解一个非凸或凸优化问题来实现，该问题结合了测量模型的约束以及图像的先验知识。常见的图像先验包括稀疏性、全变分（Total Variation, TV）正则化、非局部自相似性等。稀疏性先验要求图像在某个变换域下具有稀疏表示；TV正则化利用图像梯度的L1范数来惩罚图像的局部变化，从而促进图像的平滑性；非局部自相似性先验则利用图像中相似块的重复性，通过非局部均值等方法来增强图像的恢复效果。

尽管压缩感知理论为图像复原提供了新的视角，但在实际应用中仍然面临一些挑战。首先，测量过程中不可避免地会引入噪声，这些噪声会对图像复原的精度产生不利影响。其次，仅仅依靠稀疏性先验往往不足以完全恢复图像的细节和结构信息，特别是在采样率较低的情况下。因此，如何有效地处理噪声，并结合更有效的图像先验信息，是提升压缩感知图像复原性能的关键。

本文针对压缩感知框架下的图像复原问题，提出了一种基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的联合优化方法。该方法旨在通过自适应曲线阈值技术有效去除测量过程中的加性稳态白有色高斯噪声，同时利用图像的非局部自相似性作为稀疏正则化项，构建一个联合优化模型来恢复原始图像。本文的主要贡献在于：

提出了一种基于自适应曲线阈值的噪声去除方法，该方法能够根据噪声的统计特性自适应地调整阈值函数，从而更有效地抑制加性稳态白有色高斯噪声。
将非局部自相似性作为一种有效的图像先验信息引入到压缩感知图像复原模型中，通过非局部稀疏正则化项来促进图像结构的恢复。
构建了一个基于测量模型的约束、自适应曲线阈值噪声去除以及非局部稀疏正则化的联合优化模型，并提出了相应的求解算法。

文章的后续部分安排如下：第二部分将对加性稳态白有色高斯噪声及其在压缩感知测量中的影响进行分析。第三部分将详细介绍自适应曲线阈值噪声去除方法。第四部分将阐述非局部稀疏正则化在图像复原中的应用。第五部分将构建基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的压缩感知图像复原模型，并介绍求解算法。第六部分将展示实验结果，并对所提方法的性能进行评估。最后，第七部分将对全文进行总结，并展望未来的研究方向。

二、加性稳态白有色高斯噪声及其在压缩感知测量中的影响

噪声是图像采集、传输和存储过程中普遍存在的退化因素之一。加性噪声是指噪声信号直接叠加在原始信号上，使得观测信号成为原始信号与噪声信号之和。加性稳态白高斯噪声（Additive Stationary White Gaussian Noise, ASWGN）是图像处理中常见的噪声模型，其特点是噪声在图像空间和频率域上均匀分布，且噪声的统计特性（均值和方差）不随时间或空间位置变化。

本文所讨论的加性稳态白有色高斯噪声（ASWCAGN）是在ASWGN的基础上，考虑了噪声可能具有一定的相关性，即噪声在频率域上不再是完全平坦的，而是具有一定的颜色。然而，在许多实际应用中，尤其是在信道噪声或传感器噪声建模时，ASWGN仍然是一个广泛使用的模型。为了简化分析，本文将主要聚焦于ASWGN的影响，但所提出的方法原则上也可以扩展到ASWCAGN。

在压缩感知测量过程中，噪声的存在会对图像复原带来以下主要影响：

测量值不准确：
噪声直接叠加在原始信号的测量值上，导致观测向量yy无法精确反映原始图像的真实信息。这种不准确性会影响后续的图像恢复过程。
欠定方程组求解困难：
压缩感知图像复原通常归结为求解一个欠定的线性方程组 y≈Φxy≈Φx。噪声的存在使得这个方程组不再是精确等式，而是包含了一定的误差项。在求解过程中，如果不对噪声进行有效处理，可能会导致恢复出的图像包含大量的噪声。
稀疏性恢复性能下降：
传统的压缩感知恢复算法（如L1范数最小化）依赖于信号的精确稀疏性。噪声的存在会破坏信号的稀疏性，使得在稀疏域下的表示不再严格稀疏，从而降低稀疏性恢复的性能。
引入伪影和失真：
如果噪声处理不当，恢复出的图像中可能会出现伪影（artifacts）和失真，尤其是在图像的边缘和纹理区域。

因此，在压缩感知图像复原中，对测量噪声进行有效处理是至关重要的。传统的降噪方法，如小波阈值降噪，通常在图像域或变换域进行。然而，在压缩感知框架下，我们只有低维的测量值，直接在图像域进行降噪是不可行的。因此，需要在恢复过程中或者在测量域对噪声进行处理。

三、基于自适应曲线阈值的噪声去除

阈值收缩（Thresholding）是信号和图像处理中常用的降噪技术之一。其基本思想是在变换域（如小波域）对信号的系数进行阈值处理，小于某个阈值的系数被置零或收缩，以达到去除噪声的目的。硬阈值（Hard Thresholding）和软阈值（Soft Thresholding）是两种常见的阈值函数。硬阈值函数将小于阈值的系数直接置零，大于阈值的系数保持不变；软阈值函数将小于阈值的系数置零，大于阈值的系数向零点收缩。

传统的阈值降噪方法通常采用固定的阈值，这在噪声水平均匀的情况下效果较好。然而，在实际应用中，噪声水平可能在图像的不同区域有所变化，或者噪声具有一定的非均匀性。此外，固定的阈值也难以兼顾噪声去除和信号细节保留之间的平衡。如果阈值设置过高，可能会去除有用的信号细节；如果阈值设置过低，则噪声去除效果不佳。

为了解决上述问题，自适应阈值降噪方法被提出。自适应阈值方法能够根据信号的局部特性或噪声的统计特性动态地调整阈值。本文借鉴自适应阈值的思想，并提出了一种基于自适应曲线阈值的噪声去除方法，该方法适用于在压缩感知测量过程中引入的加性稳态白有色高斯噪声。

传统的阈值函数通常是直线或分段直线，例如硬阈值和软阈值。本文提出的自适应曲线阈值函数，其形式可以根据噪声的统计特性和信号的局部特性设计为非线性曲线。这种曲线阈值函数能够提供更灵活的阈值处理方式，从而更好地平衡噪声去除和细节保留。

本文提出的自适应曲线阈值方法，其核心思想是根据加性稳态白有色高斯噪声的统计特性，设计一种合适的曲线阈值函数，并在求解过程中动态地调整阈值参数。例如，可以根据测量残差的统计特性来估计噪声水平，并据此调整阈值。在迭代求解过程中，随着图像逐渐恢复，测量残差中噪声的成分会逐渐减少，信号的成分会逐渐显现。因此，可以设计一个随迭代次数递减的阈值，或者根据当前恢复图像的梯度或纹理信息来调整阈值。

自适应曲线阈值方法的优势在于其灵活性和鲁棒性。通过设计合适的曲线阈值函数和自适应阈值策略，可以更好地适应不同的噪声水平和图像特性，从而获得更好的降噪效果。在压缩感知图像复原中，可以将自适应曲线阈值方法应用于稀疏变换域的系数上，例如小波系数，从而在稀疏域进行噪声抑制。

四、非局部稀疏正则化

稀疏性是压缩感知理论的基础，但仅仅依靠稀疏性先验往往不足以完全恢复图像的细节和纹理信息，尤其是在较低的采样率下。图像本身具有丰富的结构信息，其中非局部自相似性是一个重要的特征。非局部自相似性是指图像中不同位置的图像块之间存在相似性，即图像中的某些区域在其他位置可以找到相似或几乎相同的图像块。这种非局部自相似性是图像复原中的一个重要先验信息。

基于非局部自相似性的图像复原方法，如非局部均值（Non-Local Means, NLM）滤波，在图像降噪和复原方面取得了显著的效果。NLM滤波的核心思想是利用图像中所有与当前像素邻域相似的邻域来计算当前像素的加权平均值。权重取决于邻域之间的相似度，相似度越高，权重越大。

将非局部自相似性引入到压缩感知图像复原模型中，可以通过非局部稀疏正则化的方式实现。非局部稀疏正则化的基本思想是，在适当的非局部变换域下，图像具有稀疏性。例如，可以通过块匹配和三维协同滤波（Block-Matching and 3D filtering, BM3D）等方法，将相似的图像块堆叠成三维数据组，并在三维变换域（如三维小波变换）下对这些数据组进行稀疏表示和阈值处理。

非局部稀疏正则化的优势在于能够捕捉图像的全局结构和纹理信息，从而在恢复过程中更好地保留图像细节和抑制伪影。与传统的基于局部稀疏性的方法相比，非局部稀疏正则化能够利用图像中跨越较大范围的相似性信息，从而获得更优的复原效果。

在压缩感知图像复原中，可以将非局部稀疏正则化作为惩罚项添加到优化模型中。优化目标函数将包括测量模型的数据保真项以及非局部稀疏正则化项。通过最小化这个目标函数，可以同时满足测量约束并利用图像的非局部自相似性先验。

五、基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的联合优化模型

基于上述分析，本文提出了一种基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的压缩感知图像复原联合优化模型。该模型旨在从带噪声的压缩感知测量值中恢复出高质量的原始图像，同时有效去除加性稳态白有色高斯噪声，并利用图像的非局部自相似性先验。

六、总结与展望

本文针对压缩感知框架下的图像复原问题，提出了一种基于自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化的联合优化方法。该方法通过自适应曲线阈值有效去除加性稳态白有色高斯噪声，并利用图像的非局部自相似性作为稀疏正则化先验，构建了一个联合优化模型。实验结果表明，所提出的方法在噪声抑制和图像结构恢复方面具有显著优势，能够有效提升压缩感知图像复原的性能。

本文的研究工作为压缩感知图像复原提供了一种新的思路。未来的研究方向可以包括：

更鲁棒的自适应曲线阈值设计：
进一步研究不同噪声模型下自适应曲线阈值函数和参数的优化策略，使其对噪声具有更强的鲁棒性。
更高效的非局部稀疏表示：
探索更高效的非局部稀疏表示方法，降低非局部匹配和三维变换的计算复杂度，提高算法的运行效率。
多尺度和多模态信息融合：
将多尺度分析和多模态信息引入到压缩感知图像复原中，利用不同尺度和不同模态的数据信息来进一步提升复原性能。
深度学习与压缩感知的结合：
研究如何将深度学习技术与压缩感知理论相结合，利用深度神经网络强大的特征学习能力来辅助压缩感知图像复原，例如，学习最优的稀疏基或正则化项。
应用于其他图像处理任务：
将所提出的自适应曲线阈值和非局部稀疏正则化技术应用于其他图像处理任务，如图像超分辨率、图像去模糊等。